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3の2010乗の1の位を求めなさいという問題があります。


答えに9と書いてありますが、求めかたがわかりません。

分かり易く教えて下さい!
よろしくお願いしますm(__)m

gooドクター

A 回答 (12件中1~10件)

研究所の小橋です。

「3の2010乗の1の位は…?」の回答画像12
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3^2010


=(3^2008)*3^2
=(3^(4*502))*9
=(3^4)*(3^502)*9
=81*(3^502)*9

81は何乗しても末尾が1です。したがって答は9です。
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1の位というのは、10で割った余りということです。



「3の2010乗」を「3^2010」と書きます。
「3の4乗」は「3^4」です。

3^4=81
で、
81を10で割れば余りは1です。

2010=4×502+2
だから、
3^2010=(3^4)^502×3^2=(81)^502×3^2
81を何乗しようが、1の位は1で、10で割れば余りは1です。
したがって、3^2010を10で割った余りは、

1×9=9

ということでどうでしょう。
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#7さんの解は,質問者さんの知りたい1の位ではなくて,10^958の位,すなわち最上位の桁が9だという計算ですね。

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1の位は循環しますので、何回かけると循環するか考えます。


10の位以降は計算上影響ないので無視します。

(A)1乗=3
(B)2乗=9 (3×3)
(C)3乗=7 (9×3=27 → 7)
(D)4乗=1 (7×3=21 → 1)
(E)5乗=3 (1×3= 3) ・・・(A)と同じに戻った

これから計算式を予測しますと
「(A)3→(B)9→(C)7→(D)1」 の4行を循環します。

n乗のnが4で割り切れる時は(D)のマスにいます。
n乗のnを4で割った時のあまりが1であれば(D)より1マス進み(A)になります。

2010を4で割ると、502あまり2です。
(D)より2マス進んむと(B)、つまり9が答えになります。
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対数を使えばよい。

但し、log3の近似値を知らないと解けない。
普通は、その近似値が与えられてるはずなんだが。

常用対数で底を省略して、logAで表す。

log3≒0.4771だから、log(3^2010)=2010*log3≒2010*0.4771=958.971
又、log9=2log3≒2*0.4771=0.9542。つまり、958+log9<log(3^2010)<959
958+log9=log(9*10^958)、959=log(10^959) だから log(9*10^958)<log(3^2010)<log(10^959)
よって、9*10^958<3^2010<10^959 つまり、1の位の数は9。
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3のべき乗を書き出してみると、3,9,27,81,243,729,…… と



1の位が、3,9,7,1,の4つの数の繰り返しになることが予想できます。

2010乗だから、3を2010個掛けると言うことだから

2010÷4=502あまり2 

3,9,7,1のセットを502回繰り返した後の503回目の2つ目と言うことだから、

そのときの1の位は、9
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1の位が同じ二つの数(例えば21と31)をかけた結果の1の位がまた同じになる場合を調べると,


0×0→0 ○
1×1→1 ○
2×2→4 ×
3×3→9 ×
4×4→6 ×
5×5→5 ○
6×6→6 ○
7×7→9 ×
8×8→4 ×
9×9→1 ×
ですから,0,1,5,6の4通りあります.

3のn乗(n>0)の場合,
3の1乗→3
  2乗→9
  3乗→7
  4乗→1
で,4乗で上の4通りのうちの一つの場合になります.つまり,3の4乗はいくつ掛け合わせても,その結果の1の位は1なのです.

いまは2010乗するのですが,
2010=4×502+2
なので,3の(4×502)乗の1の位は1であり,これにあと2乗分だけ掛け算すると
1×3×3→9
で,これが求める数字です.
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3の0乗=   1


3の1乗=   3
3の2乗=   9
3の3乗=  27
3の4乗=  81
3の5乗= 243
3の6乗= 729
3の7乗=2187
(以下略)

3をn倍(n>=0)した場合、1の位は0、3、6、9、2、5,8、1、4、7、0、3、9…と繰り返します。

nが10以上になると、3×n=3×10+3(n-10)=30+3(n-10)ですから、10回で繰り返すと言う事を意味します。

3の1乗が3の2乗に変わると、3の1倍が3の3倍に変わる、と言う事。

つまり、nが2増えます。1の位が3から2つ進んで9になります。

3の2乗が3の3乗に変わると、3の3倍が3の9倍に変わる、と言う事。

つまり、nが6増えます。1の位が9から6つ進んで7になります。

3の3乗が3の4乗に変わると、3の9倍が3の27倍に変わる、と言う事。

つまり、nが18増えます。1の位が7から18進んで1になりますが、10回で繰り返すので、8つ進む、2つ戻るのと同じです。

3の4乗が3の5乗に変わると、3の27倍が3の81倍に変わる、と言う事。

つまり、nが54増えます。1の位が1から54進んで3になりますが、54進むのは6つ戻るのと同じです。

3の5乗が3の6乗に変わると、3の81倍が3の243倍に変わる、と言う事。

つまり、nが162増えます。1の位が3から162進んで9になりますが、162進むのは2つ進むのと同じです。

nの値に注目すると、nの増加数は

2→6→18→54→162→486→1458→4374…

となります。パターンは「10回繰り返し」ですから、結局、nの増加数は

2→6→8→4→2→6→8→4…

と同じです。ここで、8増えるのは2減るのと同じ、4増えるのは6減るのと同じなので

+2→+6→-2→-6→+2→+6→-2→-6…

と同じです。

つまり、nの変化は4回で元に戻って繰り返す、と言う事です。

一の位の変化で言えば、1→3→9→7→1…の繰り返し、と言う事です。

これは

乗数を4で割った余りが0なら一の位は1。

乗数を4で割った余りが1なら一の位は3。

乗数を4で割った余りが2なら一の位は9。

乗数を4で割った余りが3なら一の位は7。

と言う事です。

2010を4で割ると「余り2」なので、一の位は9です。
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一の位の数字というのは最大でも10通りしかありません。


整数Aに整数Bを掛けたときの一の位は整数A、Bの一の位によって決まります。
従って、整数Aに整数B(この問題では3)を繰り返しかけていくと一の位の現れ方には必ず規則性が生じます。その規則性を調べれば求めかたがわかるはずです。規則性の調べ方は#1さんのおっしゃるように実際に3^1、3^2、3^3……を計算することです。
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