３の2010乗の１の位は…？

３の2010乗の１の位を求めなさいという問題があります。


答えに９と書いてありますが、求めかたがわかりません。

分かり易く教えて下さい！
よろしくお願いしますm(__)m

No.12 回答者： student_of_kit 回答日時： 2011/12/15 02:22

研究所の小橋です。

No.11 回答者： Ishiwara 回答日時： 2011/12/03 17:42

３＾2010

＝（３＾2008）*３＾2
＝（３＾（４*５０２））*９
＝（３＾４）*（３^５０２）*９
＝８１*（３^５０２）*９

８１は何乗しても末尾が１です。したがって答は９です。

No.10 回答者： okormazd 回答日時： 2011/12/02 22:01

1の位というのは、10で割った余りということです。

「3の2010乗」を「3^2010」と書きます。
「3の4乗」は「3^4」です。

3^4=81
で、
81を10で割れば余りは1です。

2010=4×502+2
だから、
3^2010=(3^4)^502×3^2=(81)^502×3^2
81を何乗しようが、1の位は1で、10で割れば余りは1です。
したがって、3^2010を10で割った余りは、

1×9=9

ということでどうでしょう。

No.9 回答者： FT56F001 回答日時： 2011/12/02 20:22

#7さんの解は，質問者さんの知りたい1の位ではなくて，10^958の位，すなわち最上位の桁が9だという計算ですね。

No.8 回答者： grafan 回答日時： 2011/12/02 20:11

1の位は循環しますので、何回かけると循環するか考えます。

10の位以降は計算上影響ないので無視します。

(A)1乗=3
(B)2乗=9 (3×3)
(C)3乗=7 (9×3=27 → 7)
(D)4乗=1 (7×3=21 → 1)
(E)5乗=3 (1×3= 3) ・・・(A)と同じに戻った

これから計算式を予測しますと
「(A)3→(B)9→(C)7→(D)1」 の4行を循環します。

n乗のnが4で割り切れる時は(D)のマスにいます。
n乗のnを4で割った時のあまりが1であれば(D)より1マス進み(A)になります。

2010を4で割ると、502あまり2です。
(D)より2マス進んむと(B)、つまり9が答えになります。

No.7 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/12/02 16:25

対数を使えばよい。

但し、log3の近似値を知らないと解けない。
普通は、その近似値が与えられてるはずなんだが。

常用対数で底を省略して、logＡで表す。

log3≒0.4771だから、log(3^2010)＝2010*log3≒2010*0.4771＝958.971
又、log9＝2log3≒2*0.4771＝0.9542。つまり、958＋log9＜log(3^2010)＜959
958＋log9＝log(9*10^958)、959＝log(10^959)　だから　log(9*10^958）＜log(3^2010)＜log(10^959)
よって、9*10^958＜3^2010＜10^959　つまり、1の位の数は9。

No.6 回答者： ferien 回答日時： 2011/12/02 16:24

３のべき乗を書き出してみると、３，９，２７，８１，２４３，７２９，……　と

１の位が、３，９，７，１，の４つの数の繰り返しになることが予想できます。

２０１０乗だから、３を２０１０個掛けると言うことだから

２０１０÷４＝５０２あまり２　

３，９，７，１のセットを５０２回繰り返した後の５０３回目の２つ目と言うことだから、

そのときの１の位は、９

No.5 回答者： ok-2011 回答日時： 2011/12/02 15:54

１の位が同じ二つの数（例えば２１と３１）をかけた結果の１の位がまた同じになる場合を調べると，

０×０→０　○
１×１→１　○
２×２→４　×
３×３→９　×
４×４→６　×
５×５→５　○
６×６→６　○
７×７→９　×
８×８→４　×
９×９→１　×
ですから，０，１，５，６の４通りあります．

３のｎ乗（ｎ＞０）の場合，
３の１乗→３
　　２乗→９
　　３乗→７
　　４乗→１
で，４乗で上の４通りのうちの一つの場合になります．つまり，３の４乗はいくつ掛け合わせても，その結果の１の位は１なのです．

いまは２０１０乗するのですが，
２０１０＝４×５０２＋２
なので，３の（４×５０２）乗の１の位は１であり，これにあと２乗分だけ掛け算すると
１×３×３→９
で，これが求める数字です．

No.4 回答者： chie65535 回答日時： 2011/12/02 14:54

３の０乗＝　　　１

３の１乗＝　　　３
３の２乗＝　　　９
３の３乗＝　　２７
３の４乗＝　　８１
３の５乗＝　２４３
３の６乗＝　７２９
３の７乗＝２１８７
（以下略）

３をｎ倍（ｎ＞＝０）した場合、１の位は０、３、６、９、２、５，８、１、４、７、０、３、９…と繰り返します。

ｎが１０以上になると、３×ｎ＝３×１０＋３（ｎ－１０）＝３０＋３（ｎ－１０）ですから、１０回で繰り返すと言う事を意味します。

３の１乗が３の２乗に変わると、３の１倍が３の３倍に変わる、と言う事。

つまり、ｎが２増えます。１の位が３から２つ進んで９になります。

３の２乗が３の３乗に変わると、３の３倍が３の９倍に変わる、と言う事。

つまり、ｎが６増えます。１の位が９から６つ進んで７になります。

３の３乗が３の４乗に変わると、３の９倍が３の２７倍に変わる、と言う事。

つまり、ｎが１８増えます。１の位が７から１８進んで１になりますが、１０回で繰り返すので、８つ進む、２つ戻るのと同じです。

３の４乗が３の５乗に変わると、３の２７倍が３の８１倍に変わる、と言う事。

つまり、ｎが５４増えます。１の位が１から５４進んで３になりますが、５４進むのは６つ戻るのと同じです。

３の５乗が３の６乗に変わると、３の８１倍が３の２４３倍に変わる、と言う事。

つまり、ｎが162増えます。１の位が３から162進んで９になりますが、162進むのは２つ進むのと同じです。

ｎの値に注目すると、ｎの増加数は

２→６→１８→５４→１６２→４８６→１４５８→４３７４…

となります。パターンは「１０回繰り返し」ですから、結局、ｎの増加数は

２→６→８→４→２→６→８→４…

と同じです。ここで、８増えるのは２減るのと同じ、４増えるのは６減るのと同じなので

＋２→＋６→－２→－６→＋２→＋６→－２→－６…

と同じです。

つまり、ｎの変化は４回で元に戻って繰り返す、と言う事です。

一の位の変化で言えば、１→３→９→７→１…の繰り返し、と言う事です。

これは

乗数を４で割った余りが０なら一の位は１。

乗数を４で割った余りが１なら一の位は３。

乗数を４で割った余りが２なら一の位は９。

乗数を４で割った余りが３なら一の位は７。

と言う事です。

２０１０を４で割ると「余り２」なので、一の位は９です。

No.3 回答者： Quattro99 回答日時： 2011/12/02 14:20

一の位の数字というのは最大でも10通りしかありません。

整数Aに整数Bを掛けたときの一の位は整数A、Bの一の位によって決まります。
従って、整数Aに整数B（この問題では3）を繰り返しかけていくと一の位の現れ方には必ず規則性が生じます。その規則性を調べれば求めかたがわかるはずです。規則性の調べ方は#1さんのおっしゃるように実際に3^1、3^2、3^3……を計算することです。