問題は
「四面体OABCがあり、OA⊥OB、OB⊥OC、OC⊥OA、OA=√3、OC=√6、BC=√7を満たしている。
(1)AB=アであり、∠BAC=イウ°であるまた三角形ABCの外接円の半径は√エオ/カである。
(2)三角形ABCの面積はキ√ク/ケであり、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとするとOH=√コ/サである。
(3)∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、AD=シ√ス/セであり、cos∠OAD=ソ/タである。また、三角形ABCの内接円の中心をKとするときAK=チ√ツ-√テト/ナである。さらに、点Oから直線ADに垂線を下ろし、直線ADとの交点をLとするとKL=ニ√ヌネ-ノ√ハ/ヒである。」
です。
分かりづらいですがカタカナは答えの部分です。途中式と答えを教えて下さい。よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
問題は
「四面体OABCがあり、OA⊥OB、OB⊥OC、OC⊥OA、OA=√3、OC=√6、BC=√7を満たしている。
(1)AB=アであり、∠BAC=イウ°であるまた三角形ABCの外接円の半径は√エオ/カである。
(2)三角形ABCの面積はキ√ク/ケであり、点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとするとOH=√コ/サである。
(3)∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、AD=シ√ス/セであり、cos∠OAD=ソ/タである。また、三角形ABCの内接円の中心をKとするときAK=チ√ツ-√テト/ナである。さらに、点Oから直線ADに垂>線を下ろし、直線ADとの交点をLとするとKL=ニ√ヌネ-ノ√ハ/ヒである。」
>です。
四面体OABCは、直方体を△ABCの面で切断したような形です。△OAB、△OBC、△OACはすべて直角三角形です。底面を△OBCとして、Oから底面に垂直にOAを延ばすとし、直角三角形の面が互いに垂直で、△ABCが斜めになっているような図形になります。(できれば描いてみて下さい)
(1)OA=√3、OC=√6、BC=√7だから、よって、OB=1
△OBCで三平方の定理より、OB^2=7-6=1
△OABで、AG^2=3+1=4 よって、AB=2……ア
△OACで、AC=6+3=9 AC=3
BC=√7、AB=2、AC=3だから、余弦定理より cos∠BAC=1/2より、、∠BAC=60度……イウ
三角形ABCの外接円の半径は、正弦定理より
BC/sin∠BAC=√7/(√3/2)=2√21/3=2R よって、R=√21/3 ……√エオ/カ
(2)
三角形ABCの面積S=(1/2)・AB・AC・sin60度
=(1/2)・2・3・(√3/2)
=3√3/2 ……キ√ク/ケ
>点Oから平面ABCに垂線を下ろし、平面ABCとの交点をHとするとOH=√コ/サである。
四面体OABCの体積は、底面を△OBC、高さをOAと見れば、
四面体OABCの体積=(1/2)・OB・OC・OA・(1/3)
=(1/2)・1・√6・√3・(1/3)
=√2/2
底面を△ABCと見ると、高さOHだから、体積は=3√3/2・OH・(1/3)
3√3/2・OH・(1/3)=√2/2 として解くと、 OH=√6/3 ……√コ/サ
(3)
>∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると、AD=シ√ス/セであり、cos∠OAD=ソ/タである
AD=xとおく。 ADが角∠BACの二等分線だから、30度ずつに分かれる。
△ABDの面積+△ACDの面積=△ABCの面積だから、
(1/2)×2・x・sin30度+(1/2)・3・x・sin30度=3√3/2
これから、AD=x=6√3/5 ……シ√ス/セ
△AODは、角AOD=90度の直角三角形である。
cos∠OAD=OA/AD=√3/(6√3/5)=5/6……ソ/タ
>三角形ABCの内接円の中心をKとするときAK=チ√ツ-√テト/ナである。
KからAB、BC、CAにおろした垂線の足をE,F,Gとする。
内接円の性質から、AE=AG、BE=BF=x,CF=CG=yが言えて、x、yとおくと、
AE=2-x、AG=3-y
2-x=3-y、x+y=√7 だから、連立方程式を解くと、x=-1+√7/2 (yはいらない)
AE=2-x=(5-√7)/2
EK=r(内接円の半径)だから、公式S=rsを使う
s=(1/2)(2+3+√7)=5+√7/2
r=S/s=3√3/2/(5+√7/2)=√3(5-√7)/6
△AEKは、直角三角形だから三平方の定理より、
AK^2=AE^2+r^2
=(5-√7/2)^2+(√3(5-√7)/6)^2
AK=(5√3-√21)/3……チ√ツ-√テト/ナ
>点Oから直線ADに垂線を下ろし、直線ADとの交点をLとするとKL=ニ√ヌネ-ノ√ハ/ヒである。」
△AODは、角AOD=90度の直角三角形である。作図から、△ALOも直角三角形
(△AODと交点Lを描いてみればいいです。)
△AODと△ALOは相似です。(角A共通、90度の角もあるから、2つの角が等しい)
だから、AO:AL=AD:AO=6√3/5:√3=6:5 よって、AL=5√3/6
KL=AL-AK
=5√3/6-(5√3-√21)/3
=(2√21-5√3)/6……ニ√ヌネ-ノ√ハ/ヒ
答えが違ってるとかなにかあったらお願いします。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 中学校 OA=OB=OC=AB=AC=1、 ∠BOC=90°となる四面体OABCの 辺OA上に点DをOD:D 4 2022/10/11 10:07
- 数学 三角形ABCの辺BCを4 : 3に内分する点をTとし、点Tを接点として辺BCに接する円が点Aで直線A 3 2023/02/12 21:03
- 数学 AB=2,BC=3,∠ABC=60°の三角形がある。 点Aから辺BCに垂線を下ろし辺BCとの交点をD 4 2023/02/02 15:55
- 数学 数学の問題の解き方を教えて下さい。 ∠Aが直角の直角三角形ABCで、∠Bの二等分線と辺ACとの交点を 7 2022/05/06 21:52
- 数学 角が同じならsinは同じになるのでしょうか 1 2022/09/06 00:12
- 大学・短大 三角形ABCにおいてBCの中点をM、AB>=ACとする。この時AからBCに下ろした垂線とBCとの交点 1 2023/05/10 20:20
- 数学 半径6の円Kを底面とする半球がある。半球の底面に平行な平面が半球と交わっており、交わりの円Lの半径は 6 2022/06/24 06:34
- 数学 複素数の問題です。ご教授お願い致します。 3点が与えられており、それぞれ、 A=2 B=-1-i C 2 2023/07/11 21:59
- 数学 三角形ABCの3つの辺全てに接する円の中心iと、その円を作図しなさい。 辺の垂直二等分線を引いてみた 4 2023/02/21 00:14
- 数学 数学に詳しい方、教えて下さい! 写真の三角形ABCの辺AB、AC上に、それぞれ 点D、Eがある時、D 3 2022/05/07 21:51
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
Aに直線3本で三角形7個
-
数学Aについて質問です。 1. 正...
-
エクセルで文書の改訂記号を作...
-
三角形の内接円が必ず存在する証明
-
正八角形の三個の頂点を結んで...
-
正八角形で・・・・
-
数Iについてです。 「角A<90°は...
-
図形の性質 「平行な二直線を含...
-
トラウベの三角形とは
-
点と三角形の距離
-
ボロノイ図
-
この図形の中に三角形は何個あ...
-
球表面の等間隔の点の表し方
-
高校教科書の問題
-
四角形の重心の求め方の定義名
-
数学の問題です。教えてください。
-
正七角形と二辺を共有する三角...
-
合同ではない三角形について
-
半径1の円に内接する正五角形の...
-
ヘロンの公式って、3辺が整数で...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学Aについて質問です。 1. 正...
-
Aに直線3本で三角形7個
-
正八角形の三個の頂点を結んで...
-
正八角形で・・・・
-
京都大学で出題された次の問題...
-
エクセルで文書の改訂記号を作...
-
垂心はなぜHで表すのか?
-
Wordで三角柱を作成したいので...
-
三角形折りの卓上札に両面印刷...
-
三角形ABCと三角形DEFの重心は...
-
スマホでこの画像の4G左側にあ...
-
高校教科書の問題
-
四角形の重心の求め方の定義名
-
正八角形についてです。 3個の...
-
合同と=の違い
-
この世に「絶対」なんてない。 ...
-
ベクトルの重心
-
正七角形と二辺を共有する三角...
-
手の甲の三つの点のような刺青
-
高校の数Aで質問があります。 ...
おすすめ情報