αがαの３乗=5 を満たすとき αは有理数でない

高校１年の数学の問題です。分野は「命題と集合」です。

「実数αがαの３乗=5　を満たすとき　αは有理数でないことを示せ。」

06年度東京学芸大の問題です。

途中まで模範解答を書きます。そのあとがわからないので教えてください。

よろしくお願いします。

（解答）

背理法で解きます。

αが有理数であるとする。

α=n分のm　とする。

mの3乗は、5の倍数となる。」

（これからあとがわかりません）

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： JOUNIN 回答日時： 2012/01/27 18:33

α=m/nと置くのはいいですが少し条件を加えておきましょう

αが負になる場合(今回は正ですが一般には)の表記がm<0となる場合とn<0となる場合の二種類がありますので、それを統一するためにn>0と定めておきます
また、既約分数にしておかないとまた面倒なのでn,mは互いに素であるとします
以下解答です

α=m/n(n,mは整数,n>0,nとmは互いに素)と置く
条件よりα^3=5であるから
(m/n)^3=5
⇔m^3=5n^3
mとnは互いに素であるからm^3は5の倍数であるからmも5の倍数となる
したがってm=5k(kは整数)とおける
∴(5k)^3=5n^3
⇔25k^3=n^3
これよりn^3は5の倍数となるからnも5の倍数となる
したがってn=5l(lは整数)とおける
よってn,mは共に5の倍数となるが、n,mは互いに素であるから矛盾する
つまり仮定が誤っていたということである
以上より題意は示された
(証明終)

No.4 回答者： JOUNIN 回答日時： 2012/01/27 20:25

No3ですが追加でもう一つ

No1様へ
5は立派な既約分数です
その証明はこの問題では不適となります

No.2 回答者： noname#152422 回答日時： 2012/01/27 18:26

> αが有理数であるとする。

>
> α=n分のm　とする。

ここで、「ｎとｍとが互いに素」という条件を付け加えておくことができて、あとで矛盾を言う際に使います。

> mの3乗は、5の倍数となる。

の後、5が素数なのでｍが5を約数として持ちます。

ｍ^3＝5×ｎ^3において、左辺は5^3（=125）を約数として持つので両辺5で割りきれます。

ｎについても同じような処理をします。

No.1 回答者： DIooggooID 回答日時： 2012/01/27 17:56

●αがαの３乗=5　を満たすとき　αは有理数でない

ヒント


　１の３乗　＜　　５　＜　２の３乗

　　　１　　＜　3√５　＜　２

　　したがって、　　3√５　　は、　整数ではない。

また、

　　既約分数は、３乗しても　既約分数のままで、分数になる。

　　ところが、　　3√５　　は、　３乗すると　５で、既約分数ではない。

　　したがって、　　3√５　　は、　分数ではない。