No.3ベストアンサー
- 回答日時:
α=m/nと置くのはいいですが少し条件を加えておきましょう
αが負になる場合(今回は正ですが一般には)の表記がm<0となる場合とn<0となる場合の二種類がありますので、それを統一するためにn>0と定めておきます
また、既約分数にしておかないとまた面倒なのでn,mは互いに素であるとします
以下解答です
α=m/n(n,mは整数,n>0,nとmは互いに素)と置く
条件よりα^3=5であるから
(m/n)^3=5
⇔m^3=5n^3
mとnは互いに素であるからm^3は5の倍数であるからmも5の倍数となる
したがってm=5k(kは整数)とおける
∴(5k)^3=5n^3
⇔25k^3=n^3
これよりn^3は5の倍数となるからnも5の倍数となる
したがってn=5l(lは整数)とおける
よってn,mは共に5の倍数となるが、n,mは互いに素であるから矛盾する
つまり仮定が誤っていたということである
以上より題意は示された
(証明終)
No.2
- 回答日時:
> αが有理数であるとする。
>
> α=n分のm とする。
ここで、「nとmとが互いに素」という条件を付け加えておくことができて、あとで矛盾を言う際に使います。
> mの3乗は、5の倍数となる。
の後、5が素数なのでmが5を約数として持ちます。
m^3=5×n^3において、左辺は5^3(=125)を約数として持つので両辺5で割りきれます。
nについても同じような処理をします。
No.1
- 回答日時:
●αがαの3乗=5 を満たすとき αは有理数でない
ヒント
1の3乗 < 5 < 2の3乗
1 < 3√5 < 2
したがって、 3√5 は、 整数ではない。
また、
既約分数は、3乗しても 既約分数のままで、分数になる。
ところが、 3√5 は、 3乗すると 5で、既約分数ではない。
したがって、 3√5 は、 分数ではない。
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