解の公式。約分できるとき出来ない時

Ｘの係数Ｂが偶数だと必ず約分できますよね？
ここで疑問なのですがＸが奇数なら絶対に約分
出来ないのでしょうか？約分できるときも
あるのなら条件は何でしょうか？よろしくお願い
します

No.4 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2003/06/29 13:32

ax^2+bx+c=0の解をα,βとして(但し、a,b,cは整数)

x={-b±√(b^2-4ac)}/2a
が約分できる条件は

・bが偶数 (x^2+4x+7=0など)
・α,βが有理数 (3x^2+5x+2=0など)
・a,b,cの最大公約数が2以上 (3x^2+3x+3=0など)

だと思います。しかし、
2つめの条件を満たす場合には、因数分解で解けるので、解の公式を使いません。

3つめの条件を満たす場合には、その最大公約数で割って最大公約数が１になるようにしてから解を求めます。

だから、2つ目の条件と3つ目の条件はあってないようなものです。

したがって、実用的なのは「ｂが偶数」という条件だけです。

No.5 回答者： ryn 回答日時： 2003/06/29 13:46

√がはずせない場合について。

例えば、３で割り切れるときには
公式の a, b は３の倍数であることが必要です。
そこで
　a = 3m
　b = 3n
として公式を書き直すと、
　x = {-3n ±√(9n^2 - 12mc)}/3m
となるので、mc が３の倍数であれば
ルートから３をくくり出せるので約分出来ます。

ただし、c が３の倍数としてしまうと、
元の方程式全体が３の倍数になるので
あまり意味がありません。
したがって、m が３の倍数（つまりa が９の倍数）
のときには３で約分できることになります。


ここからの類推で、n1,n2 などを負でない整数として
２次の係数 a を３以上の素数 p1,p2,…,pN の積で
　a = (p1)^(n1)*(p2)^(n2)* … *(pN)^(nN)
のように表します。

ここで、i 番目の指数 ni が２以上であるとき
　b = (pi)*(奇数)
を選ぶと b が奇数であっても pi で割り切れます。

No.3 回答者： noname#24477 回答日時： 2003/06/29 13:06

√がはずせない場合

ａとｂが共通の因数を持つことが必要
またルートの外にその因数が出てくることも必要
たとえば
ａ＝ｂ＾２　になっていればよい。ｃにまで共通な因数
があれば最初から割っておけばいいのでｃには共通な
因数は無いとする。
ｂが奇数なら、２のほうが約分できることは無い。

√がはずせる場合はルートの中が奇数の２乗になるような
場合。
答（ｘ）が整数になるようなものなら約分出来ているということ
になります。

No.2 回答者： kbannai 回答日時： 2003/06/29 12:54

確認ですが、２次方程式の「解の公式」ですよね。

３次方程式（カルダノ）、４次方程式（フェラーり）の解の公式もあるのです！

お答えは、「できません」

別にxの係数が偶数だろうが奇数であろうが、普通の「解の公式」で解けます。

いろいろな練習問題をやってみて、x の係数が偶数だったら、分母・分子に偶数があるので、分母の偶数と約分できるのです。

もし、x の係数が奇数であったら、b^2は奇数ですよね。だから約分できないのです。

No.1 回答者： ONEONE 回答日時： 2003/06/29 10:03

x=-b±√(b^2-4ac)]/2a

√(b^2-4ac)が外れる（ｘの2次式が有理数で因数分解できる）ときしか約分できないとおもいます。
b=5、a=1、c=4のとき√(b^2-4ac)=3とか


それ以外で約分するにはbが偶数であることが絶対必要です。
根号の中身が外に出なくては約分できないので、奇数では奇数×奇数＝奇数だから無理です。