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御世話になっております。
次の三角不等式の基本的な問題ですが、解答が無いため、解の正誤をお答え下さると助かります。
問 0≦θ<2π の時 tanθ<√3
解は 0<θ<π/3、π/2<θ<4π/3、π/2<θ<2π
宜しくお願い致します。
また、三角不等式は、基本sin cos tanが単位円で取る値の範囲をきちんと把握してる事が必要ですか?
例題を単位円で書くと、tanが√3より小さいのは、II象限とIV象限は確実。あとは、I、III象限で√3より小さいtanに対応するθを図から調べる。こんな感じで解けば良いのでしょうか。二次不等式の安直な解法みたく、不等号の向きから簡単に解いてはダメということですね?
あと、単位円を使う方法と曲線を使う方法とありますが、ご回答される方々は主にどちらを使いますか? 私的には書くのが楽なので単位円をうまく使いたいのですが……
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
解は、ちょっと惜しくて、タイプミスじゃないかと思いますが、
最初の不等式、0≦θ…の「=」、
最後の不等式の、3π/2<θの「3」が抜けています。
残りの2つの質問にまとめて答えてしまいます。
>あと、単位円を使う方法と曲線を使う方法とありますが、ご回答される方々は主にどちらを使いますか? 私的には書くのが楽なので単位円をうまく使いたいのですが……
曲線というのは、y=sinx,cosx,tanxのグラフ、ということですよね?
どっちもできた方がいいのは、間違いないところですが、
グラフを確実に描けるようになるためにも、
まずは、単位円の方で確実にできるようにする、
その上で、単位円の考えを元に、グラフを描けるようにする、
そうすれば、結果的に、どっちでも同じ、という感じになります。
そこで、単位円を使ったやり方を、しっかり把握する方法として、
次のようにやると、効果的かと思います。
・まず、sin, cos, tan 用に、3つの単位円を並べて描く。
sin, cos用と並べた間の下の段に、tanx用を描くと解りやすいかと思います。
・単位円の考え方では、sinθ = 動点Pのy座標だから、
sinがプラスになるのは、yがプラスになる、x軸の上の方、
マイナスになるのは、yがマイナスになる、x軸の下の方、
よって、第I,II象限に、+と、第III,IV象限に-と書く。
45度に対するsinの値(1/√2)を、それに対応するPの外側に、書く
OPを結ぶ線を、+-が見えにくくならないよう、点線か何かで書いたり、
+-を書く場所を工夫しておくといいかも。
0,90,135,180,210,…度なども同じ要領で値を書いていく。
最初は、ついでに、30,60,120,…度の値も書いておくといいかも。
0,90,180,…度では、軸の目盛りの値と混同しやすいので、
値は、全部、例えば、○の中とかカッコ付で書く方がいいかも。
そうして、sinθ = 動点Pのy座標を意識して、
書きこんだsinθの値も参考にして、
(1,0)からスタートして、Pが単位円の円周上を反時計回りに
動いていくとき、sinθの値がどう変化するか、考えてみる、
当然上に行けばいくほど、大きく、下に行けば、小さくなり、
真ん中の、x軸のところで0になるのは、当たり前、
2周回れば、720度、3周回れば、1080度までのθで、
逆に回れば、負の角度の場合が、しっかり理解できます。
理解だけなら、すでにできていると思いますが、
こういうことをやると、納得・当たり前じゃん、と思えるように
なりやすく、そうなると、グラフも、当たり前のように描ける
ようになります。
sinθ = 動点Pのy座標と考えれば、sinθ>何とか、と言われたら、
考えれば、直線y=何とかの上側、になるのは、当たり前、
こういうことが、自然に、反射神経で、考えなくても、出てくる
ようになる、こういう感覚の部分まで、持っていくのがとても重要です。
・cosについては、cosθ = 動点Pのx座標なので、値の大小は、
上下でなく、左右で決まるだけ、やることは全く同じです。
・tanについては、tanθ = 動点のy座標/x座標 = sinθ/cosθ
なので、ちと面倒ですが、同じように書き込みをしていきます。
(ただ、90,270度のところには値がないので、書けません)
sinと同じようにPを動かしていくと、0度~90度の手前までで、
ずっと大きくなっていく、180度から逆回ししていくと、
90度の手前まで、値は0からどんどん小さくなっていく。
値としては書きようがないので、90度のところは、
y軸の右側に (+∞), 左側に(-∞)のように書いておくといいでしょう。
「∞」は数学では「無限大」と読みます(決して「エイト」ではありません^^)
切れ目があることを示すため、90,270度に当たるP(0,1),(0,-1)には、
不等式で使った小さい白丸を描いておくのも、一つの手、
こうすると、90,270度のところで、切れ目はあるが、
Pを反時計回りに動かしていくと、常に値は大きくなりっぱなし、
ということが、考えて、でなく、感覚として解るようになるはずです。
何回もやるどころか、大抵は、1回、ちょっと丁寧にやるだけで、
理解&納得&感覚化ができてしまい、その後は、
単位円には、0,90,…度の値、tanのときだけ、できれば、45,135,…度
の値も書くだけで(値が±1というのは重要な点ですから)、
三角方程式は、パッと見だけで解決、グラフも自然に描ける、
という感じになれると思いますので、ぜひ試してみてください。
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