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n,k≧1を(1+n)^k<2^nなる整数とし、p1=2,p2,,pr≦2^nなる全ての素数とする。ここでr≦kを仮定する。
自然数が素数の積として一意に分解されるという基本定理から、
全ての整数m(1≦m≦2^n)は次の形に一意的に
表される、m=2^e13^e2・・・pr^er
(2からprの素数の累乗です)
問題はこのあと、
すべての可能性を検討することにより
2^n≦(n+1)n^(r-1)<(n+1)^r≦(n+1)^k<2^n
の不等式です。右の3つは当たり前なのですが
どうにも
2^n≦(n+1)n^(r-1)
n+1かけるnのr-1乗のところが2のn乗以上になるのがよく分かりません。すべての可能性を検討するってどうしたらよいのでしょう。お教え下さい。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
1以上2^n以下の自然数の個数が2^n個であることは大丈夫?
あとは、m=2^(e_1)*3^(e_2)*・・・*(p_r)^(e_r)
0≦e_1≦n、0≦e_2≦n-1、・・・、0≦e_r≦n-1
と書ける自然数mの集合をSとします。
mの値はe_1、e_2、・・・、e_rによって定まります。
0≦e_1≦nですから、e_1の取れる値はn+1通り
0≦e_2≦n-1ですから、e_2の取れる値はn通り
・・・
0≦e_r≦n-1ですから、e_rの取れる値はn通り
よって、mは(n+1)n^(r-1)通りの値をとります。
したがって、Sの要素の個数は(n+1)n^(r-1)個あります。
一方、1以上2^n以下の自然数kは、
k=2^(e_1)*3^(e_2)*・・・*(p_r)^(e_r)とかけますから、kはSの要素である。
したがって、2^n≦(n+1)n^(r-1)となります。
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