3つの点電荷の内部にもうひとつの点電荷を置く

角度はすべて120度未満の三角形ABCで、内部の点Pをとります。
ベクトルPAの表記は矢印を省略して、単にPAなどとかきます。

PA+PB+PC=0
をみたす点Pは重心です。
Oを始点にすると、OP=(OA+OB+OC)/3となることから分かります。
モーメントの和が0と見なすと、Pは、重さは0とみなした三角板の3つの頂点に同じ重さのおもりをつけて、三角板を下から指で支えたときに、つりあう位置を意味しています。

PA/|PA| + PB/|PB| + PC/|PC| = 0
をみたす点Pはフェルマー点です。
3つの単位ベクトルを足して0ベクトルになるとき、3つのベクトルを平行移動すればそれは正三角形状になり、ベクトルどうしのなす角は120度になることから分かります。
モーメントの和が0とみなすと、Pは、テーブル上の3点A,B,Cに穴を開け、また、Yの字型に作った糸の3つの端に同じ重さのおもりをつけて、3つの穴からたらしたときの、糸の結び目の位置を意味しています。

では、
PA/|PA|^3 + PB/|PB|^3 + PC/|PC|^3 = 0
をみたす点Pはどういった点なのでしょうか？
知られていることや参考サイトがありましたら教えてください。
単位ベクトルPA/|PA|を、距離の2乗に反比例させたPA/|PA|^3らの和が0とみなすと、Pは、テーブル上の3点A,B,Cに点電荷を固定し、もうひとつの点電荷を内部に置いたときにどちらにも移動しなくてつりあう位置を意味しています。

http://topicmaps.u-gakugei.ac.jp/phys/matsuura/j …
によると、正三角形ではそういった点Pは4箇所あるようですが。
物理のラグランジュ点とは関係あるのでしょうか。

また、
PA/|PA|^2 + PB/|PB|^2 + PC/|PC|^2 = 0
や
|PA|*PA + |PB|*PB + |PC|*PC = 0
をみたす点Pの物理的意味があれば教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2012/03/21 02:30

面白いこと考えてらっしゃいますね。

> ラグランジュ点

　はて、関係あるんでしょうか。電荷の代わりにニュートン的重力による引力を考えるということかと思いますが、その場合、正三角形に並んだ系全体が回転することで配置を保っているのでなくてはならず、それなら求心力を勘定に入れないと。

> PA/|PA|^2 + PB/|PB|^2 + PC/|PC|^2 = 0

　電荷の話で、ただし「2次元空間における物理」の場合。

> |PA|*PA + |PB|*PB + |PC|*PC = 0

　「P地点からA, B, C各地点へ向かって単位長さあたり一定の質量を持つ片持ち梁をそれぞれ伸ばしたとき、Pに掛かるモーメントが丁度つりあってる」ということを式にすれば、こうなりそうです。

この回答へのお礼

いつも聡明なご回答をありがとうございます。
僕は既存の事実を整理し、アナロジーの妄想をしているだけです。

重さは0とみなした三角板の3つの頂点A、B、Cに同じ重さのおもりをつけて、三角板を下から指で支えたときに、つりあう位置Pは、
PA+PB+PC=0

単位長さあたり一定の質量を持つYの字形の棒(端をA、B、Cとする)の交点Pを下から指で支えたときに、つりあったとすると、
|PA|*PA + |PB|*PB + |PC|*PC = 0

単位面積あたり一定の質量を持つ三角形板(頂点をA、B、Cとする)を下から指で支えたときに、つりあっう位置Pは、
PA+PB+PC=0

テーブル上の3点A,B,Cに穴を開け、また、Yの字型に作った糸の3つの端に同じ重さのおもりをつけて、3つの穴からたらしたときの、糸の結び目の位置Pは、
PA/|PA| + PB/|PB| + PC/|PC| = 0

テーブル上の3点A,B,Cに点電荷を固定し、もうひとつの点電荷を内部に置いたときにどちらにも移動しなくてつりあう位置Pは、Pの電荷とAの電荷の斥力は、方向は単位ベクトルPA/|PA|、大きさは距離|PA|の2乗に反比例しているので、
PA/|PA|^3 + PB/|PB|^3 + PC/|PC|^3 = 0

理想的な状況として、たくさんの電荷をYの字型に均等に配置し(端をA、B、Cとする)、もうひとつの点電荷を交点Pの真下に配置したときに、Yの字型電荷が真上に持ち上がったとすると(電荷の質量や重力は無視)、
Pの点電荷とPAの線電荷(？)の斥力は、方向は単位ベクトルPA/|PA|、大きさは距離|PA|の2乗に反比例し、線電荷の電荷量に比例(線分の長さに比例)しているので、
PA/|PA|^2 + PB/|PB|^2 + PC/|PC|^2 = 0

理想的な状況として、たくさんの電荷を三角形状に均等に配置し(端をA、B、Cとする)、もうひとつの点電荷を三角形の内部の真下Pに配置したときに、三角形型電荷が真上に持ち上がったとすると(電荷の質量や重力は無視)、
Pはどういう関係式を満たすのでしょう?

これは三角形の重心(重力gの中心)に対して、三角形の引心とか斥心(距離の2乗に反比例する引力とか斥力の中心)とでも名づけるよいもののように思います。

電荷において、3つの点電荷ABC、Y字型電荷ABC、三角形電荷ABC、と点電荷Pの3事例を考えましたが、
3つの鉄球ABC、Y字型鉄棒ABC、三角形鉄板ABC、と磁石の3事例を考えてもいいかもしれません。

例えば、宇宙空間に鉄(3点形またはY字棒型または三角形板型に固定)を配置し、その面の内部の点Pの近くに棒磁石のN極を垂直に置いたときに、鉄が回転せずに棒磁石に吸い寄せられる位置。

なかなかうまく説明できませんが、重力g(引力ではない)を電気力や磁力に変えたときのアナロジーを考えたいのです。

お礼日時：2012/03/22 02:59

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2012/03/22 13:30

ANo.1のコメントについてです。



> 重さは0とみなした三角板の3つの頂点A、B、Cに同じ重さのおもりをつけて、三角板を下から指で支えたときに、つりあう位置Pは、

> PA+PB+PC=0

　頂点からPまでを理想的なバネ、あるいは「強い力」（距離が大きいとき、距離に比例する引力）でつないだときもこうなるかな。

> これは三角形の重心(重力gの中心)に対して、三角形の引心とか斥心(距離の2乗に反比例する引力とか斥力の中心)とでも名づけるよいもののように思います。

　各点(微小線分, 微小面積)Xが作るポテンシャルφ(P,X) = 1/|P-X|の総和 Φ(P)=∫{X∈A} φ(P, X) dX を考えれば、三角形に限らない話であることは明らか。形を限定しなくてもいいから、斥心は外心・内心より重心に似ている、と言っても良さそう。



> 例えば、宇宙空間に鉄(3点形またはY字棒型または三角形板型に固定)を配置し、その面の内部の点Pの近くに棒磁石のN極を垂直に置いたときに、鉄が回転せずに棒磁石に吸い寄せられる位置。

　モノポールなら電荷と同じ話になるけれども、有限長の棒磁石だと双極子。場の形状が違うから、ちょっと別の問題かも。リニアモーターカーに使われている磁気浮上方式の話と関係ありそうです。
　また、３個の固定された磁石でできる場を使って磁石製の自転するコマを空中に静止させるおもちゃ（たしか「UCAS」と言った）がありました。コマをどこに持って行けばいいかはものすごくデリケートですが、いったん浮上してしまえば空気による粘性抵抗だけなので自転が非常に長く続き、その場にとどまる。ただし温度による磁場強度変化の補正を丁寧にやる必要があったっけ。
　浮上と言えば、第２種超伝導体では内部を通過する磁力線がピン留めされるから、あたかも磁力線の端にツマミを取り付けたような状態で、見えない「バネのようなもの」を手で直接操作して力を感じることができる。この場合にはまた方程式が違ってきそうです。