単調増加

次の問題が分かりません。

次の数列は有界で単調増加であることを示し、極限を求めよ。

(1)a1=1、a(ｎ+1)=√(aｎ+1)
(2)a1=1、a(ｎ+1)一=(3aｎ+4)/(2aｎ+3)

ｎ1の1は右下についているやつです。

問題文には答えのみ載っているのでどうしてそうなるのか分かりません…

よろしくお願いいたしますm(__)m

No.2 ベストアンサー 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2012/04/20 14:44

回答が長くなって、回答を書くのも面倒くさいので、(1)だけ回答します。

(1)
a(n+1) = √(a(n)+1)が単調増加することの証明。
段階1
　a(2) = √(a(1)+1) = √2
　a(2)-a(1)=√2-1>0
　∴a(2)>a(1)
段階2
　n=kの時 a(k+1) > a(k)と仮定する
段階3
　n=k+1の時
　a(k+2)-a(k+1) =√(a(k+1)+1)-√(a(k)+1)
　分子の有理化をすると
　与式={√(a(k+1)+1)-√(a(k)+1)}*{√(a(k+1)+1)+√(a(k)+1)}/{√(a(k+1)+1)+√(a(k)+1)}
　　　=(a(k+1)-a(k))/{√(a(k+1)+1)+√(a(k)+1)}
　a(k+1)>a(k)なので
a(k+2)-a(k+1) > 0
よって
a(n)は単調増加する。

極限値を求めるのは、特性方程式
α=√(α+1) → α^2=α+1　→　α^2-α-1=0
をまず解く。
α=(1±√5)/2になるけれど、α=(1-√5)/2は極限値として不適（∵a(n)>0)なので、
α=(1+√5)/2が極限値らしい。

α=(1+√5)/2がa(n)の上界であることの証明
段階1
　n=1のとき　a(1)<α　　　（∵α=(1+√5)/2　>　1）
段階2
　n=kのとき　a(k)<αと仮定する
段階3
　n=k+1のとき
　α-a(k+1) = α-√(a(k)+1)
　ここでα=√(α+1)なので
　与式=√(α+1)-√(a(k)+1)>0　　　　（∵α>a(k) →　α+1 > √(a(k)+1)）

よって、a(n+1)=√(a(n)+1)は有界で単調増加なので収束する。
みたいな感じです。

また、この数列がαに収束することは
　|a(n+1)-α| = |√(a(n)+1)-√(α+1)｜
=|√(a(n)+1)-√(α+1)｜|√(a(n)+1)+√(α+1)｜/|√(a(n)+1)+√(α+1)｜
=|a(n)-α|/|√(a(n)+1)+√(α+1)｜
<|a(n)-α|/α
∴　|a(n)-α| <(1/α)^(n-1)*|a(1)-α|
　n→∞　|a(n)-α|→0
みたいにしても証明できます。



(2)は(1)の回答を真似すれば、たぶんできるんじゃないかな。やってないから、分からないけれど…

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

長々とすいませんでした。
大変分かりやすいです。同じように(2)もやってみます！

お礼日時：2012/04/22 22:01

No.3 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2012/04/21 10:46

(2)を…

a(n+1)-an=(4-2an^2)/(2an+3)
この正負は
・an<-3/2のとき正
・-3/2<an<-√2のとき負
・-√2<an<√2のとき正
・an>√2のとき負
となり、初項１のとき√2を超えるまで単調増加です
一方
a(n+1)>√2と仮定すると
(3an+4)/(2an+3)>√2となり変形すると
an>√2が成立するためnを順次降下させていくことによりa1>√2となってしまうため
a(n+1)ひいてはanの全項は√2を超えません
従ってanは単調増加です

この回答へのお礼

(2)の解答をありがとうございます。

細かい部分がよくわかりました。
途中式の記載感謝です。

お礼日時：2012/04/22 22:07

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2012/04/20 08:47

おはようございます。

極限値の「アタリ」については「特性方程式」で、
単調増加や上に有界であることは「はさみうちの原理」で示すことができます。

以下、ご参考まで。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6749575.html

参考URL：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6749575.html

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
URLまでありがとうございます。

参考にさせていただきます!

お礼日時：2012/04/22 21:58