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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1+1/2+…+1/k+1/k+1>2k/k+1+1/k+1) の右辺は計算のために
このような変形をしているだけでn=k+1の式ではないので、
ここで勘違いをしてませんか?
一応証明をひととおり書いておきます。
(説明のため余計なことを書いたり、省略したりしてあります)
【証明】
i)n=2のとき
(省略)
成り立つ。
ii)n=kのときすなわち
1+1/2+1/3+…+1/k > 2k/(k+1)
のとき成り立つと「仮定する」。
(この時点では上の式が本当に正しいかは分からないが正しいと「仮定」する。)
このときn=k+1すなわち
1+1/2+1/3+…+1/(k+1) > 2(k+1)/((k+1)+1)
=2(k+1)/(k+2)
が成り立つことを以下で示す。
(こちらの式はまだ正しいか分からない)
n=k+1のときの右辺は
1+1/2+1/3+…+ 1/k + 1/(k+1)
と書ける。これはn=kの右辺に1/(k+1)を足したものである。
そこで、n=kの左辺にも同じ数1/(k+1)を足す。
2k/(k+1)+1/(k+1) = (2k+1)/(k+1)
よって
(1+1/2+…+1/k) + 1/(k+1) > (2k+1)/(k+1)
が得られる。
(n=kの式の両辺に1/(k+1)を足した式。両辺に同じ数字を足しているから大小関係は崩れない)
この得られた式とn=k+1のときの左辺との大小関係を調べるために差をとると
(2k+1)/(k+1) - 2(k+1)/(k+2) = (計算省略) > 0
よって
(2k+1)/(k+1) > 2(k+1)/(k+2)
左辺と合わせて
(1+1/2+…+1/k) + 1/(k+1) > 2(k+1)/(k+2)
が得られる。
よってn=k+1のとき成り立つ。
i、iiが成り立っているからすべてのnについて成り立つ。
【証明終了】
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