行列

エルミート行列の、異なる固有値に対応する固有空間が直交することに証明を、どなたかお願いします。

No.3 回答者： reiman 回答日時： 2012/10/03 10:08

Aを正規行列としその相異なる固有値をx,yとし

x,yに対応する固有ベクトルをそれぞれu,vとする
以下^*は複素共役転置操作とする

定義により
A^*A=AA^*
Au=xu
Av=yv
である

∥Au-xu∥^2
=(Au-xu)^*(Au-xu)
=u^*A^*Au-u^*A^*xu-u^*x^*Au+u^*x^*xu
=u^*AA^*u-u^*x^*Au-u^*A^*xu+u^*x^*xu
=∥A^*u-x^*u∥^2

∥Au-xu∥=0より∥A^*u-x^*u∥=0
すなわちA^*u=x^*u

(x-y)(u^*v)
=xu^*v-yu^*v
=(x^*u)^*v-u^*(yv)
=(A^*u)^*v-u^*(Av)
=u^*Av-u^*Av
=0

No.2 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/09/30 12:12

HをHermite行列すなわち

(1)H^{*T}=H

*は複素共役，Tは転置を表します．これらに関して，

(A^*)^T=(A^T)^*,(AB)^*=A^*B^*,(AB)^T=B^TA^T

などの性質は既知とします．

異なる固有値をλ，μとします（これらは実数であることは既知とします）．λ，μの固有空間の任意の元をそれぞれx，ｙとすします．

Hx=λx,Hy=μy

ここで内積を<x|y>=x^{*T}yで定義します（これは物理流）．(1)から

<x|H^{*T}y>=<x|Hy>

である．まず左辺

<x|H^{*T}y>=x^{*T}H^{*T}y=(H^*x^*)^Ty={(Hx)^*}^Ty=(Hx)^{*T}y=(λx)^{*T}y=λx^{*T}y=λ<x|y>

次に右辺

<x|Hy>=<x|μy>=x^{*T}(μy)=μx^{*T}y=μ<x|y>

こうして

λ<x|y>=μ<x|y>,(λ-μ)<x|y>=0

λ≠μであるから，<x|y>=0，つまり，x,yは直交します．x,yは任意の固有ベクトルだから，固有空間が直交すると言えます．

No.1 回答者： reiman 回答日時： 2012/09/30 07:24

これは簡単過ぎるので、もっと一般的に

正規行列の、異なる固有値に対応する固有空間が直交することに証明を、どなたかお願いします。
としたほうが面白いのでは？