背理法

ルート２が無理数であることを証明するのですが・・・

教科書には

ルート２が無理数でないと仮定すると、ある有理数に等しいから

１以外に公約数を持たない自然数a,bを用いて、→こうする意味はなんですか？

ルート２をa/bとおくことができる　　　→この部分が分かりません。

a=ルート２ｂより、aの２乗＝２ｂの２乗となる。ー(1)

よってaの２乗は偶数。ならばaも偶数になるのでｃを自然数として

a=２ｃと書ける。　　→こうしなければならない意味ってなんですか？

よって２ｂの２乗＝４ｃの２乗ー(2)


(1)、(2)より、ｂの２乗＝２ｃの２乗　　→こうなる理由を教えてください。

ｂの２乗は偶数。よってｂも偶数。

ゆえにaとｂは公約数２をもつことになるが、これはaとｂが１以外に公約数をもたないとしたことに矛

盾する。したがってルート２は無理数。　→分からないです。

全体的に理解できていないので、教えていただけると嬉しいです。長文失礼しました。

No.4 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/11/01 18:29

＞背理法

＞ルート２が無理数であることを証明するのですが・・・

＞教科書には

＞ルート２が無理数でないと仮定すると、ある有理数に等しいから
＞１以外に公約数を持たない自然数a,bを用いて、→こうする意味はなんですか？
これ以上約分できない分数（規約分数）で表すということです。

＞ルート２をa/bとおくことができる　　　→この部分が分かりません。
√2＝ａ／ｂ（ａ，ｂは互いに素な自然数）とおく。
　　……「互いに素」は「１以外に公約数を持たない」という意味です。
　　　　「互いに素」は、後で矛盾であることを示すために使います。

＞a=ルート２ｂより、aの２乗＝２ｂの２乗となる。ー(1)
上の式から、ａ＝√2ｂを2乗して、ａ^2＝2ｂ^2　ー(1)　

＞よってaの２乗は偶数。ならばaも偶数になるのでｃを自然数として
ａ^2＝２×（自然数）の形だから、偶数。

「aの２乗は偶数　ならば　aも偶数になる」は証明できます。
この命題の対偶を証明します。
対偶：「ａが奇数　ならば　ａ^2も奇数になる」が真である　と言えれば、
元の命題も真になります。
［証明］
ａは奇数だから、ａ＝２ｎ+１（ｎは整数）とおける。
ａ^2＝（２ｎ+１）^2＝４ｎ^2+４ｎ+１＝２・２ｎ（ｎ+１）+１より、
２ｎ（ｎ+１）は整数だから、ａ^2は奇数。
よって、対偶が真であるから、元の命題も真である。

＞a=２ｃと書ける。　　→こうしなければならない意味ってなんですか？
上の命題から、aは偶数だから、ａ＝２ｃ（ｃは自然数）と書ける。
　
＞よって２ｂの２乗＝４ｃの２乗ー(2)
（1）に代入して、（２ｃ）^2＝２ｂ^2より、４ｃ^2＝２ｂ^2 ー(2)

＞(1)、(2)より、ｂの２乗＝２ｃの２乗　　→こうなる理由を教えてください。
（2）の両辺を２で割って、ｂ^2＝２ｃ^2

＞ｂの２乗は偶数。よってｂも偶数。
ｂ^2＝２×（自然数）だから偶数。よって、さっきの命題より、ｂも偶数。

＞ゆえにaとｂは公約数２をもつことになるが、これはaとｂが１以外に公約数をもたないとしたことに
＞矛盾する。
ａもｂも偶数だから、公約数２をもつことになるから。

＞したがってルート２は無理数。　→分からないです。
√2を、ａとｂが１以外に公約数をもたないような分数（有理数）と仮定したら、
ａもｂも偶数であるという矛盾が起きたから、
やっぱり、√2は無理数である。

＞全体的に理解できていないので、教えていただけると嬉しいです。
命題「aの２乗は偶数　ならば　aも偶数になる」の証明の部分以外を上からつなげて書いていくと、
背理法の証明になると思います。
（証明法は決まりきっているので、流れを覚えてしまえばいいと思います。）
いろいろ書き込んで見にくいですが、意味を考えてみてください。

この回答へのお礼

ありがとうございました★

お礼日時：2012/11/02 19:38

No.3 回答者： asuncion 回答日時： 2012/10/30 08:43

＞１以外に公約数を持たない自然数a,bを用いて、→こうする意味はなんですか？

例えば、14/10と書くより、約分して7/5と書く方が後の話がスムーズに進むからです。

＞ルート２をa/bとおくことができる　　　→この部分が分かりません。

有理数は分数で表わせることは理解されているのですよね。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/10/30 00:49

ん～, ど～なんだろ.... 「背理法」以前の問題じゃないかなぁ.

例えば, 「有理数」ってどんなものか, わかりますか?

この回答への補足

はい、わかります。

分数で表わせる数ですよね？

補足日時：2012/10/30 01:20

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2012/10/30 00:30

そもそも、背理法の考え方自体を理解していますか？

今回は、√2が無理数であることを証明したいので、
√2が無理数ではない、すなわち有理数であると仮定した場合に
矛盾が生じることをもってして、√2は無理数であると結論づけようとしています。
このプロセスを理解できていないと、いくら説明してもおわかりいただけないような気がします。

この回答への補足

はい、それは理解していると思います。

補足日時：2012/10/30 01:21