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画像の行列Aを固有値分解するとき、疑問に思うことがあったので質問します。

(1)
授業では、最初は(1)のように分解していましたが
なぜか違うところでは(2)のように分解していました。
固有ベクトルを求める際、ベクトルをノルムで割るかどうかの
違いのようですが、これは行う必要があるのでしょうか?
計算すると、(1)、(2)共に行列Aとなるので正しいことは分かりますが
わざわざ計算を面倒にする理由が分かりません。
(特異値分解と並べて板書してあったので、もしかしたら比較のためかも知れません)

(2)
テストでは、これに続いてスペクトル分解せよ、と出てきそうなのですが
この場合、両者のどちらを元にスペクトル分解すればいいのでしょうか?
(どちらでも正解かもしれませんが)

よろしくお願いします。

「固有値分解について」の質問画像

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A 回答 (2件)

>わざわざ計算を面倒にする理由が分かりません。



単位ベクトル化(正規化)すると、各軸への射影量がわかるので、
固有ベクトルが多少想像しすくなるからでしょう。
固有ベクトルに興味が無くて、対角化したいだけなら不要です。

(1) 行う必要があるのでしょうか?

ありません。

(2) 両者のどちらを元にスペクトル分解すればいいのでしょうか?

どちらでもよいです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
単に分解するだけなら必要ないようですね。
よく分かりました。

お礼日時:2012/11/22 17:48

(1) 本当に「計算が面倒になっている」かどうかは微妙なんだけどね. それぞれで P の逆行列を求めるとき, どっちが面倒だと思う?



(2) 少なくともこの場合はどっちを使っても同じ.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
分解後の操作を視野に入れてそのようにしている
ということだったのですね。

お礼日時:2012/11/22 17:45

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Q固有値、固有ベクトル、対角化...何のため?

私は文系出身の32歳会社員です。

ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと
独学で最近始めました。

そこで...
本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが...

(1)何のために固有値を求めるのでしょうか?
(2)何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか?
(3)何のために行列の対角化を行うのでしょうか?

回答は歴史的背景、学術的背景、感情...etc、なんでも結構です。
例)
・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。
・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっきりするから「数列」ではなく「ベクトル」と呼んでみた。
・意味はない!目的はない!ただ数学として突き詰めているだけだ!
...などなど

あっ、でも急を要している訳ではないので
もしご存知の方、もしくは自論をお持ちの方は
お時間のある方はご回答いただければ幸いです。

ちなみにテキストは共立出版の『やさしく学べる基礎数学~線形代数・微分積分~です。
やっと線形代数が終わって、微分積分に入ろうというところで、ふと疑問を持ってしまいました...(~~;

本当に漠然とした質問で恐縮ですが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

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Aベストアンサー

行列を 1個固定して考えてみます.
この行列は何かよくわからないんですが線形変換を表します.
たいていのベクトルはこの線形変換によって変な方向を向いてしまうんですが, まれに方向が変わらず長さだけが変わるベクトルがあります.
このように「長さだけが変わるベクトル」がこの線形変換 (ひいては行列) の固有ベクトルとなります. で, 長さの変化率が固有値.

Q行列 線形代数 "diag"って何ですか?

ロボット制御のなかで,おそらく行列だと思うんですが,“diag”という記号が出てきました.何の事か分からないのでどなたか教えてください.

Aベストアンサー

diagは対角行列を出力する関数です。
例えば、diag(1,2,3)なら(1,1)成分は1、(2,2)成分は2、(3,3)成分は3で他は0の行列になります。

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
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(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
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という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
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Q特異値分解の求め方を教えてください。

4×5行列Aの特異値分解を求めています。
手順の中で
まずAを上2重対角行列に変形することができました。

そのときにAの中に
2×2行列
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 0   8√5)
となりました。
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Aベストアンサー

この行列は正方行列であってしかも対角化可能です。
この場合この行列の特異値分解はユニタリ行列による対角化に一致します。
行列の対角化をする方法は知っているのですね?

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

QP2Pの利点、欠点

最近使ってる人も多いP2Pソフトですが、
実際、このP2P技術の利点や欠点などは何なのでしょうか?よく言われることとして、欠点で言えば、著作権の問題や、帯域を食いつぶすなどですが、他に何かあれば教えてください。

また、IP電話がありますが、最近、コンビニで立ち読みした本の中にP2Pを利用した、無料の電話のサービスか電話が出来るツール(どちらかだったと思う)があると読んだのですが、IP電話と、この電話はどう違うのでしょうか?
またこの電話に関しての詳しい情報をお持ちの方は教えていただければうれしいです。

Aベストアンサー

サーバに依存する接続形態ですと、サーバがダウンするとすべてのクライアントが機能を停止しますが
P2Pであれば、個々のクライアントが生きていれば通信可能ですので障害に強いと思います。(リスク分散)

また、プライバシーについてもサーバを経由する場合よりもP2Pで直接情報をやりとりすれば比較的安全です。

逆に、クライアントの情報を一元管理したり、或いは操作を抑制したい場合、P2Pだと状況を把握することが難しいです。認証を要求するサービスに対してもP2Pは不向きだと思います。

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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q1次独立・1次従属とは?

1次独立・1次従属とは何でしょうか。参考書であまりていねいに説明されてないので、よく分かりません。あまり重要な事柄ではないのでしょうか。
2つのベクトルa→,b→が1次独立 ならば a→≠0→
                     b→≠0→
                     a→平行b→ではない

とかいてありますが・・・・

教えてください。

Aベストアンサー

>あまり重要な事柄ではないのでしょうか。

とんでもない.
線形代数(高校ならベクトル)の中心概念です.
ただし,高校のベクトルの範囲ならば
わざわざ一次独立なんて言葉を出さないでも
議論できてしまうので,表に出てないだけです.

一次独立というのは

二つのベクトルa,bと係数k,lにたいして
k a + l b = 0 が成り立つならば
k=l=0 である

ということです
これはa=(a1, a2) b=(b1, b2)と書いたときに
連立方程式
k a1 + l b1 = 0
k a2 + l b2 = 0
の解が(k,l)=(0,0)となることを意味し
また
行列
a1 b1
a2 b2
の行列式が0ではないことを意味します
このように高校の(平面)ベクトルの範囲では
「連立方程式の言葉」や
「行列式の言葉」に簡単に直せてしまうので
あまり表立って出てこないのです

一次従属は「一次独立ではない」というのが定義です
これを書き下せば

同時に0とはならない適当な係数k, lを選べば
k a + l b = 0 とすることができる

ということになって,これは(平面)ベクトルの
言葉でいえばaとbが平行ということです
連立方程式の言葉でいえば
・解が無数に存在する
行列式の言葉でいえば
・行列式が0になる
ということになります.

一次変換まで考えたりして,
まだまだいろいろあるのですが,
高校のベクトル範囲なら
これくらいで十分でしょう

>あまり重要な事柄ではないのでしょうか。

とんでもない.
線形代数(高校ならベクトル)の中心概念です.
ただし,高校のベクトルの範囲ならば
わざわざ一次独立なんて言葉を出さないでも
議論できてしまうので,表に出てないだけです.

一次独立というのは

二つのベクトルa,bと係数k,lにたいして
k a + l b = 0 が成り立つならば
k=l=0 である

ということです
これはa=(a1, a2) b=(b1, b2)と書いたときに
連立方程式
k a1 + l b1 = 0
k a2 + l b2 = 0
の解が(k,l)=(0,0)となることを...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q数学のハット記号の意味がわかりません!

参考書にいきなり出て来た、関数の上に載っている"^"記号の意味が分かりません。
調べようにもどの本に載ってるのかもわからず、
ネットで調べようにも記号は調べられず、
ハットで検索しても関係ないものばかり出てくるのでわかりません。
どなたかハット記号の意味を教えてください。

Aベストアンサー

リアプノフ指数の話なら、
?dot{r(t)}=?hat{G}(t)r(t)
のGはヤコビアン行列じゃねーでしょうか。するとハットは行列をスカラーと区別するために付けてる記号かも知れません。だとすると最後の
hat{U}(0)=?hat{1}
の右辺は1じゃなくて単位行列。


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