速さの問題

A町からB町までの間を１台のバスが往復しています。そのバスはA町につくと20分停車した後、B町に向かって発車します。おさむ君がA町からB町に行こうとしましたがバスの発車まで35分あるので、自転車に乗って時速15kmでB町に向かいました。10分走ったところでA町に向かうバスとすれ違いました。このとき、次の問いに答えなさい。


（１）おさむ君はバスとすれ違うまでに何km進みましたか。

（２）バスの速さは時速何kmですか。

（３）おさむ君はバスとすれ違った後、時速20kmで進むとバスより５分早くB町に到着しました。A町からB町までの道のりは何kmですか。

（１）はわかりました。(2) (3)の解き方を教えて下さい。

No.2 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/12/11 13:02

＞A町からB町までの間を１台のバスが往復しています。

そのバスはA町につくと20分停車した後、B町に向かって発車します。
＞おさむ君がA町からB町に行こうとしましたがバスの発車まで35分あるので、自転車に乗って時速15kmでB町に向かいました。
＞10分走ったところでA町に向かうバスとすれ違いました。このとき、次の問いに答えなさい。

＞（１）おさむ君はバスとすれ違うまでに何km進みましたか。
15×(10/60)＝5/2＝2.5　2.5km

＞（２）バスの速さは時速何kmですか。
バスの発車まで35分あるから、はじめの15分間は、B町→A町を走り、その後20分停車する。
おさむ君は、A町→B町を10分走ったところでバスとすれ違い、そこまで2.5km進んだから、
バスは、残り5分で2.5kmを進むことになるから、

速さ＝距離/時間より、
2.5/(5/60)＝2.5×(60/5)＝30km/時　時速30km

＞（３）おさむ君はバスとすれ違った後、時速20kmで進むとバスより５分早くB町に到着しました。
＞A町からB町までの道のりは何kmですか。
A町からB町までの道のりをxkmとする。
時間＝距離/速さ
おさむ君はバスとすれ違った後、時速20kmで進む から、
進んだ距離＝x－2.5　kmだから、
おさむ君の時間＝(x－2.5)/20　時間

バスは、その後5分間走り、20分間停車して、xkmを時速30kmでA町→B町を走るから、
バスの時間＝(5/60)＋(20/60)＋(x/30)　時間

おさむ君は、バスより５分早くB町に到着したから、
おさむ君の時間＋5分＝バスの時間　より、
{(x－2.5)/20}＋(5/60)＝(5/60)＋(20/60)＋(x/30)

(x－2.5)/20＝(20/60)＋(x/30)
両辺に60をかけると、
3(x－2.5)＝20＋2x
ｘ＝27.5

よって、A町からB町までの道のりは、27.5km

この回答への補足

説明有難うございます。
やはり方程式で解く方法しかないのでしょうかね。
小学生の解き方は他にはないのでしょうかね？

補足日時：2012/12/11 13:29

No.5 回答者： KEIS050162 回答日時： 2012/12/12 10:20

難関私立中の受験問題でしょうか？方程式を使わないとちょっとしんどいですが、面積図などを駆使しても解く事が出来ます。

（添付した図は、なんとか面積図で解説したものです。もっと綺麗な解き方もあるかも知れませんが。）

１）２）は既に理解されているので、３）のみ。

考え方は、長方形の縦の辺を速度、横の辺を時間とすれば、速度×時間＝距離なので、長方形の面積が走った距離を表します。
問題に則って、自転車が走った距離、バスが走った距離を長方形で表していきます。

自転車は、最初１０分間時速１５ｋｍで走った【(1)の長方形】
その後、バスとすれ違いバスがA町に着くまでの５分間＋バスがA町で停車している２０分間の間、時速２０ｋｍで走った【(2)の長方形】
あとは、B町に着くまで時速２０ｋｍで走った。【(3)の長方形】

一方、バスはA町で２０分停車した後、時速３０ｋｍでB町まで走った。【A+B+Cの長方形】
バスは自転車より５分遅れてB町に着いたので、Cの横の辺は５分、またAの縦の辺は、自転車とバスの速度の差なので、１０ｋｍということが分かる。

これが添付した図になります。

解くポイントは、自転車が走った距離とバスが走った距離は同じなので、これらの面積は等しいことになり、分かっている数値から、分からない数値（Aの横の辺の長さ）を横の辺×縦の辺＝面積の関係から求めていきます。


(3)の面積はCと同じでこれは差し引き　０　になりますから無視して、(1)＋(2)の面積を計算します。
１５×１０／６０　＋　２０×２５／６０　＝　６５０／６０　　（敢えて約分しないままとします。その方が後々計算しやすいので。）


次に、(1)＋(2)からBの面積を引きます。（その方がAの横の辺の長さを求めやすい）
６５０／６０　－　３０×５／６０　＝　５００／６０

出てきた答えは、Aの面積ですから、Aの縦の辺の長さ即ち１０ｋｍで割ると、Aの横の長さが求まります。

５００／６０　÷　１０　＝　５０／６０　　（５０／６０時間とは、即ち５０分ということですね。）

バスが走った時間は、この答えに更に５分足した時間となり、A町からB町までの距離はこれにバスの速度をかけた値となります。

３０　×　（５０＋５）／６０　＝　２７．５ｋｍ　　（最後に約分します。こうすると計算間違いが少ないです。）


この解き方は、結局は方程式を使ったものと変わりませんが、文字の計算式に慣れていない小学生なら、この方が理解しやすいのではないでしょうか。

ご参考に。

この回答へのお礼

図まで描いて説明有難うございました。

お礼日時：2012/12/12 13:56

No.4 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/12/11 16:15

（３）は小学生の解き方で教えてもらえませんか？

＞う～ん難問だなあ！
二次元グラフが正確に描ければ解けるけど、かえって
難しいだろうし、あとは大体このくらいの距離と仮定して
条件に合うかどうか計算し、何回か繰り返して正解に
近づくしかないように思うけど、、、

No.3 回答者： Subaru_Hasegawa 回答日時： 2012/12/11 14:37

小学校で習う虫食い算も、中学で習う方程式も本質は同じです。

私立中学受験生の大半は連立方程式で出題されるような問題を平然と解きます。

＃１－２の回答は模範解答とさえ言えます。

この回答へのお礼

有難うございました。

お礼日時：2012/12/12 13:57

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/12/11 12:21

（１）おさむ君はバスとすれ違うまでに何km進みましたか。

＞時速15kmで10分走ったので15*10/60=2.5km
（２）バスの速さは時速何kmですか。
＞バスの発車まで35分あるということはバスの到着15分前
ということ。その時出発して10分走ったらバスの到着5分前
になっている。すなわちバスは5分で2.5Km走るので時速は
2.5*60/5=30Km・・・答
（３）おさむ君はバスとすれ違った後、時速20kmで進むとバスより５分早くB町に到着しました。A町からB町までの道のりは何kmですか。
＞おさむ君は時速20kmでx分走ってB町に到着したとすると、
おさむ君が走った距離は全部で2.5+(20x/60)Km。
バスはおさむ君とすれ違ってから25分後にA町を出発して
おさむ君より5分後にB町につくので、A町からB町までのバス
の所要時間はx+5-25=x-20(分)、バスは時速30KmだからA町
からB町までの距離は30*(x-20)/60(Km)
これがおさむ君の走った距離に等しいので、
2.5+(20x/60)=30*(x-20)/60、150+20x=30x-600、10x=750
x=75分
よってA町からB町までの道のり
=2.5+20*75/60=27.5Km・・・答

この回答への補足

（２）の説明はわかりました。有難うございます。
（３）は小学生の解き方で教えてもらえませんか？

補足日時：2012/12/11 12:46