円の内接外接の問題

４つの円が下の図のようにそれぞれ外接するとき
http://uploda.cc/img/img50ddde43444e3.png
下の二つの円A,Bを半径2、一番外の半径を5としたとき
Cの半径の求め方を教えてください

よろしくお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/12/29 13:10

添付図のように全接点に記号A～Iを割り振ると、各接点は2円の中心を結ぶ直線上にある。

Cの半径をrとすると
OA=OB=5-2=3
直角⊿OAHで三平方の定理を適用して
OH=√(OA^2-AH^2)=√5
OC=OF-CF=5-r
CH=OH+OC=√5+5-r
CA=CB=CG+AG=r+2
直角⊿CAHで三平方の定理を適用して
(r+2)^2=(√5+5-r)^2+2^2
4r=(√5+5)^2-2(√5+5)r
2(7+√5)r=10(3+√5)
r=5(3+√5)/(7+√5)=5(3+√5)(7-√5)/44=5(4+√5)/11

この回答へのお礼

図までつけていただきありがとうございます
大変わかりやすかったです
AO=BO=3とOC=5-rに気がつけるかどうかの問題ですね

お礼日時：2012/12/30 01:43

No.2 回答者： noname#171951 回答日時： 2012/12/29 12:28

#1です。

例えば∠CAOをα、∠OABをβと置けば
それら2つの三角形のすべての角は、
αとβを使って表されますし、辺の長さ
は円Cの半径を使って表されます。

2つの三角形について、それぞれの辺の
長さとその辺と向かい合う角の正弦との
比が一定であるという式を立てます。

外接円の半径は使いません。

この回答へのお礼

すみません私の理解がおいつかなくて申し訳ないのですが…
#1で記載されているという三角形ABCと三角形OBCについて
∠CAOをα、∠OABをβとおいて正弦定理の比率で表す、と
いうことでしょうか？
とすると三角形ABCの正弦の比率が
r+2:sin(α+β)=4:sin(180-2α-2β)
三角形OBCの正弦の比率が
5-r:sinα=3:sin(90-α-β)
が言えるのはわかりましたがそこからrがどう求まるのかが
わかりません…

ベストアンサーをつけるとこれ以上書けないことを
失念してましたので新規にまたあげますので
もしまだお付き合いいただけるのであればそちらで
よろしくお願いします

お礼日時：2012/12/30 02:00

No.1 回答者： noname#171951 回答日時： 2012/12/29 10:13

三角関数を使っていいなら、△ABCと

△OBCにそれぞれ正弦定理を適用
するのが簡単です。

この回答へのお礼

範囲は数Aですので正弦定理は使ってもいいのですが…
正弦定理をどう使うのですか？？

たとえば三角形ABCは辺がそれぞれ4,2+r,2+rになるのは
わかるのですが(rをCの半径としたとき)
そこから正弦を使うということは三角形ABCの外接円を
使うのでしょうか？
(どう使うのかわからないのですが…)

お礼日時：2012/12/29 11:39