固有値

Aをn×m行列とします。A^(転置)AとAA^(転置)が同じ0でない固有値を持つことの証明をお願いします。

No.9 回答者： reiman 回答日時： 2013/03/16 18:07

もっと明確化しよう

問題：
Aをn×m行列としBをm×n行列としABが重複度kの0でない固有値uを持つとき
BAは重複度kの固有値uを持つ.

解答概要:
E'：対角要素の(1,1)～(rank(A),rank(A))が1で残りの要素が全て0のn×m行列.
P：Aの行変形用のn次正則行列.
Q：Aの列変形用のm次正則行列.
PAQ=E'となるようにPとQを定める.

(PAQ)(Q^-1BP^-1)=E'(Q^-1BP^-1)とABの固有多項式は同じである.
その固有多項式をf(x)とする.
(Q^-1BP^-1)(PAQ)=(Q^-1BP^-1)E'とBAの固有多項式は同じである.
その固有多項式をg(x)とする.

(Q^-1BP^-1)の最初のrank(A)行の最初のrank(A)列で作られる
rank(A)次正方行列の固有多項式をh(x)とすると
f(x)=h(x)x^(n-rank(A))
g(x)=h(x)x^(m-rank(A))

この回答へのお礼

ありがとうございます。考えてみます。

お礼日時：2013/03/18 03:01

No.8 回答者： reiman 回答日時： 2013/03/16 09:26

No.7の修正：E'の行列型の記述が抜けていた.No.6以下も同じ.ただ前後の脈絡から明白.

問題：
Aをn×m行列としBをm×n行列としABが0でない固有値を持つとき
BAは固有値としてその固有値を同じ重複度で持つ.

解答概要:
E'：対角要素(1,1)～対角要素(rank(A),rank(A))が1で残り要素が全て0のn×m行列
P：Aの行変形用のn次正則行列
Q：Aの列変形用のm次正則行列
としPAQ=E'とする.

(PAQ)(Q^-1BP^-1)=E'(Q^-1BP^-1)とABの固有多項式は同じである.
その固有多項式をf(x)とする.
(Q^-1BP^-1)(PAQ)=(Q^-1BP^-1)E'とBAの固有多項式は同じである.
その固有多項式をg(x)とする.

(Q^-1BP^-1)の最初のrank(A)行と最初のrank(A)列で作られる
rank(A)次正方行列の固有多項式をh(x)とすると
f(x)=h(x)x^(n-rank(A))
g(x)=h(x)x^(m-rank(A))

No.7 回答者： reiman 回答日時： 2013/03/16 09:04

最初に書いたように一般化した方が応用が効くのでそれを書く.

問題：
Aをn×m行列としBをm×n行列としABが0でない固有値を持つとき
BAは固有値としてその固有値を同じ重複度で持つ.

解答概要:
E'：対角要素(1,1)～対角要素(rank(A),rank(A))が1で残り要素が全て0の行列
P：Aの行変形用のn次正則行列
Q：Aの列変形用のm次正則行列
としPAQ=E'とする.

(PAQ)(Q^-1BP^-1)=E'(Q^-1BP^-1)とABの固有多項式は同じである.
その固有多項式をf(x)とする.
(Q^-1BP^-1)(PAQ)=(Q^-1BP^-1)E'とBAの固有多項式は同じである.
その固有多項式をg(x)とする.

(Q^-1BP^-1)の最初のrank(A)行と最初のrank(A)列で作られる
rank(A)次正方行列の固有多項式をh(x)とすると
f(x)=h(x)x^(n-rank(A))
g(x)=h(x)x^(m-rank(A))

No.6 回答者： reiman 回答日時： 2013/03/15 08:15

問題：

Aをn×m行列とします。A^(転置)Aが0でない固有値を持つとき
AA^(転置)はその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ。

解答概要:
E'：対角要素(1,1)～対角要素(rank(A),rank(A))が1で残り要素が全て0の行列
P：Aの行変形用のn次正則行列
Q：Aの列変形用のm次正則行列
としPAQ=E'とする.

(PAQ)(Q^-1A^tP^-1)=E'(Q^-1A^tP^-1)とAA^tの固有多項式は同じである.
その固有多項式をf(x)とする.
(Q^-1A^tP^-1)(PAQ)=(Q^-1A^tP^-1)E'とA^tAの固有多項式は同じである.
その固有多項式をg(x)とする.
(Q^-1A^tP^-1)の最初のrank(A)行とrank(A)列で作られる
rank(A)次正方行列の固有多項式をh(x)とする.
すると
f(x)=h(x)x^(n-rank(A))
g(x)=h(x)x^(m-rank(A))

こちらの方が分かり易いかな?

No.5 回答者： reiman 回答日時： 2013/03/14 17:29

＞m≦n⇒f(x)=x^(n-m)g(x)

＞n≦m⇒x^(m-n)f(x)=g(x)
＞がでるのが分かりません。

イメージすれば簡単に分るが具体例で示す.
n=4,m=3,rank(A)=2とする.
すると
E'=
(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 0)
(0 0 0)
となる.
(Q^-1A^tP^-1)は3行4列になるので
(Q^-1A^tP^-1)=
(a b c d)
(e f g h)
(s t u v)
とする.
すると
E'(Q^-1A^tP^-1)=
(a b c d)
(e f g h)
(0 0 0 0)
(0 0 0 0)
となり
(Q^-1A^tP^-1)E'=
(a b 0)
(e f 0)
(s t 0)
となる.
よってI'を4次単位行列としI"を3次単位行列とすると
f(x)=|xI'-E'(Q^-1A^tP^-1)|=(x^2-(a+f)x+af-be)x^2
g(x)=|xI"-(Q^-1A^tP^-1)E'|=(x^2-(a+f)x+af-be)x

No.4 回答者： reiman 回答日時： 2013/03/13 13:58

不正確な表現の修正：基本変形という言葉は不適切なので使わない.

問題：
Aをn×m行列とします。A^(転置)Aが0でない固有値を持つとき
AA^(転置)はその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ。

解答概要:
E'：対角要素(1,1)～対角要素(rank(A),rank(A))が1で残り要素が全て0の行列
P：Aの行変形用のn次正則行列
Q：Aの列変形用のm次正則行列
としPAQ=E'とする.

(PAQ)(Q^-1A^tP^-1)=E'(Q^-1A^tP^-1)とAA^tの固有多項式は同じである.
その固有多項式をf(x)とする.
(Q^-1A^tP^-1)(PAQ)=(Q^-1A^tP^-1)E'とA^tAの固有多項式は同じである.
その固有多項式をg(x)とする.
m≦n⇒f(x)=x^(n-m)g(x)
n≦m⇒x^(m-n)f(x)=g(x)

この回答への補足

さっきのやつは分かりましたが、

最後

m≦n⇒f(x)=x^(n-m)g(x)
n≦m⇒x^(m-n)f(x)=g(x)

がでるのが分かりません。

お願いします

補足日時：2013/03/14 04:44

No.3 回答者： reiman 回答日時： 2013/03/13 13:20

No.1とNo.2に書いた基本変形P,Qは正確な表現では無かった様です.

P：PAとすることによりAに複数の行基本変形がなされる.
Q：AQとすることによりAに複数の列基本変形がなされる.
P,Qを基本変形と呼ぶのは言葉をいい加減に使ったことになります.
前後の流れから誤解は無いと思いますが
以上のことを念頭に適切な表現に改めてた方がよいでしょう.

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2013/03/13 11:47

書き間違い修正：n≦m⇒f(x)^(m-n)=g(x)をn≦m⇒x^(m-n)f(x)=g(x)に

Aをn×m行列とします。A^(転置)Aが0でない固有値を持つとき
AA^(転置)はその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ。

に変更した方がいいでしょう.
そうしないとAが零行列のときに問題が成立しない.
修正した問題ならば
行列Aの基本変形をして対角に(1,1)から(rank(A),rank(A))まで1となり
残りが0になる行列E'にすれば良い.
基本変形の正則行列をP,Qとして
(PAQ)(Q^-1A^tP^-1)=E'(Q^-1A^tP^-1)とAA^tの固有多項式f(x)は同じであり
(Q^-1A^tP^-1)(PAQ)=(Q^-1A^tP^-1)E'とA^tAの固有多項式g(x)は同じであり
m≦n⇒f(x)=x^(n-m)g(x)
n≦m⇒x^(m-n)f(x)=g(x)

2行列x^(m-n)A,BについてABとBAが定義できるとき
ABが0でない固有値を持つときBAはその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ.

も同じようにして解ける.

この回答への補足

回答ありがとうございます。


(PAQ)(Q^-1A^tP^-1)=E'(Q^-1A^tP^-1)とAA^tの固有多項式f(x)は同じ


というのはなぜですか？

補足日時：2013/03/14 01:32

No.1 回答者： reiman 回答日時： 2013/03/13 10:11

Aをn×m行列とします。

A^(転置)Aが0でない固有値を持つとき
AA^(転置)はその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ。

に変更した方がいいでしょう.
そうしないとAが零行列のときに問題が成立しない.
修正した問題ならば
行列Aの基本変形をして対角に(1,1)から(rank(A),rank(A))まで1となり
残りが0になる行列E'にすれば良い.
基本変形の正則行列をP,Qとして
(PAQ)(Q^-1A^tP^-1)=E'(Q^-1A^tP^-1)とAA^tの固有多項式f(x)は同じであり
(Q^-1A^tP^-1)(PAQ)=(Q^-1A^tP^-1)E'とA^tAの固有多項式g(x)は同じであり
m≦n⇒f(x)=x^(n-m)g(x)
n≦m⇒f(x)^(m-n)=g(x)

2行列A,BについてABとBAが定義できるとき
ABが0でない固有値を持つときBAはその固有値と同じ固有値を重複度同じで持つ.

も同じようにして解ける.