ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理
「有界な数列{a_n}n=1,2,... は収束する部分列を含んでいる。」
という定理の証明について、サイエンス社発行、笠原晧司著の「微分積分学」の中で、
「あるaが唯一あって、

∩I_k = {a}, a = lim m_k = lim M_k
k=1       k→∞   k→∞   」
という記述があるのですが、何故唯一なのかが分かりません。

著作権侵害に当たるといけないので丸写しは出来ないのですが、自分の言葉で置きかえると、
{a_n}は有界だからある閉区間I=[m,M]に含まれる。これを真中でばっさり割って[m,(m+M)/2]、[(m+M)/2,M]を考えると少なくともどっちかには無限個のa_nが含まれる。それをI_1とする。以下同じように、半分に割って無限個含む方をI_kとすると閉区間列I_k=[m_k,M_k](k=1,2,...)が出来て、
    I ⊃ I_1 ⊃ I_2 ⊃ ... ⊃ I_k ⊃ ..., M_k - m_k = 1/2^k * (M - m)→0 (k→∞)
従ってあるaが唯一あって、

∩I_k = {a}, a = lim m_k = lim M_k
k=1       k→∞   k→∞
となる、というのが流れです。

半分に割って行く作業で必ずどちらかは有限個しか含まれないのであれば唯一となるのは分かります。
しかし、例えば0,1,0,1,...と言う数列を考えた場合、収束する部分列は少なくとも2つあり、上の「aが唯一あって」という記述に反すると思うのです。

私は何か勘違いをしているのでしょうか?それともこの記述が間違ってるのでしょうか?

A 回答 (1件)

この証明では,収束する部分列が少なくとも1つ作れるという事を示しているだけで,2つ以上作れないとは言っていません。



例に出されている,{a_n} = 0,1,0,1,... という数列を考えると,
I_1 = [0,1/2] の場合と I_1 = [1/2,1] の場合が考えられますが,どちらにも無限個の a_n が含まれます。

ですから,
I_1 = [0,1/2] とすると収束値 a は唯一 0 となり,
I_1 = [1/2,1] とすると収束値 a は唯一 1 となります。

つまり収束する部分列は少なくとも2つありますが,{I_k} を1つ決めたときにはその収束値 a は唯1つ,という事ではないでしょうか。
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この回答へのお礼

なるほど。
{I_k}が決まっちゃえばそれに対応するaは唯一つと言う事ですね。
納得です。

ありがとうございました。

お礼日時:2001/05/25 12:37

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Qカレーハウス「ボルツ」はどこ?

30倍カレーで名をはせたカレーハウス「ボルツ」は
まだ健在でしょうか。神田(竹橋)に一店舗あると
聞きましたが、それ以外にもあるという情報は
ありませんか。

Aベストアンサー

渋谷にあります。
渋谷パルコパート1と3の間の路の1階に面しています。
渋谷パルコパート1を回り込むようにパート3のほうへ行きます。そのまま2つのビルの間を通り、東急ハンズ方面へ歩きます。すると左側。SOHO'Sっていうカフェレストランが角にあり、上には「卵と私」っていう卵料理の店があります。1階にある割には見落としやすい地味な入り口です。
横浜方面にもあったような・・

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Qカレーハウス”ボルツ”はまだどこかにあるのでしょうか

古い話で申し訳ありません。20年位前、まだ今のような激辛物が流行っていない頃、カレーハウス”ボルツ”というカレー専門店がありました。辛さが確か1倍から30倍までお好みで注文できるお店で、ランチは数百円くらいでA・B・Cの3種類、付け合せに青唐辛子やパウダーココナツなどが付いてくるものでした。当時は、都内に何店舗かあってとても流行っていたのですが、今は全く無くなってしまったようです。とても懐かしいので、どこかでかで食べることが出来るのでしょうか。ご存知の方はいらっしゃいますか。

Aベストアンサー

私も20年くらい前に渋谷ボルツにはまったクチですが、確かにボルツを展開していた「日本レストランシステム」(http://www.n-rs.co.jp/)は、手を引いてしまったようです。同社のホームページ(http://www.n-rs.co.jp/brand/shoplist/others.html#bolts)によると、札幌に「ぼるつ」が一軒、あとは「カレー研究所」という名前の店が都内を含めて何店舗かあるようですが、当時のボルツの味を継承しているかどうかは不明です。

またカレー好きの知人から聞いた話では、No.1の方の紹介している神田店はボルツ渋谷の暖簾分けか何かで、系列が違うそうです。都内ではありませんが宇都宮に一軒、ミニボルツ(http://www.tochinavi.net/shop/shop1.shtml?s=141)という店があり、こちらの方が当時の渋谷ボルツに近いということなので、興味がおありでしたら試されてみてはいかがですか。

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Qダイヤモンドの硬さがなぜできる?

 ダイヤモンドは硬度10で、地球上で一番硬いということですが、それについて質問です。
 ダイヤモンド以外はダイヤモンドよりも硬くないわけですが、ダイヤモンドよりも硬度の低い物(やわらかい物)でいくら圧力を加えても、炭素が硬度10にはならないと思うのです。
 なぜ硬度10の硬さができるのでしょうか?

Aベストアンサー

ダイヤモンドは高圧で固められているから硬いというわけではなく、高圧によって、化学構造が変化して、硬い物質(ダイヤモンド)に変化したと考えるべきです。
たとえばグラファイトを高圧にしても、化学構造が変化しなければ、ダイヤモンドのように硬くはなりません。

ダイヤモンドが硬い理由は結晶全体が強固な共有結合で、三次元的につながっているためであると説明されます。

このような構造はダイヤモンドを構成している炭素原子の特性とも関係してきます。
炭素以外の原子でこのような構造を作ることができるものは限られているために、ダイヤモンドよりも硬い物質が(あるのかもしれませんが)知られていないということだと思います。

参考URL:http://www2.yamamura.ac.jp/chemistry//chapter4/lecture5/lect4052.html

Q何故lim[n→∞](a_n-1)/(a_n+1)=0⇒lim[n→∞]a_n=1?

識者の皆様おはようございます。

lim[n→∞](a_n-1)/(a_n+1)=0⇒lim[n→∞]a_n=1
を示すのに困っています。
定義に従って書くと仮定は
0<∀ε'∈R,∃m'∈N;m'<k⇒|(a_k-1)/(a_k+1)-0|<ε'…(*)
となり、
これから
0<∀ε∈R,∃m∈N;m<k⇒|a_k-1|<ε…(**)
を導かねばならないのですがなかなか(*)から(**)を導けません。
どのようにして導けますでしょうか?

Aベストアンサー

対偶を使えばいいでしょ。つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。

 (**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…~(*)
となりましょう。

 で、~(**)⇒~(*)を証明すりゃ良い。まず~(**)だとすると、ε, m, kを固定したとき、
[1] (a_k-1)≧εの場合、(ANo.1の計算を利用すると)
(a_k-1)/(a_k+1) = 1-2/(a_k +1)≧1-2/(2+ε)>0
[2] -(a_k-1)≧εの場合も同様に、
-(a_k-1)/(a_k+1) = -(1-2/(a_k +1))≧2/(2-ε)-1>0
です。
 さてここで、
0<ε'∧((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')
が成り立つようなε'(ただしε'は、m, kに依らずεだけで決まる)の具体例をひとつ構成すれば良いわけです。

対偶を使えばいいでしょ。つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。

 (**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…~(*)
となりましょう。

 で、~(**)⇒~(*)を証明すりゃ良い。まず~(**)...続きを読む

Qダイヤモンドに関する映画

こんにちは。ダイヤモンドに関する映画を探しています。
今のところ、ブラッドダイヤモンド、ブレイクアウトと、世界中にI Love You(Harry Winstonでの購入シーンがあった)を見ましたが、他にありますか?ダイヤモンド、ダイヤモンド商人、高級ジェリーショップ(Tiffany以外)で、他に映画がありましたら、教えてください!

Aベストアンサー

こんにちは!
「ブラッドダイヤモンド」のようにダイヤを主題にではなく、「世界中がアイ・ラヴ・ユー」のように小道具として出てくる…というだけでもいいのですか??
またダイヤ単体ではなくて、「ダイヤと他の宝石を使ったジュエリー」でもかまいませんでしょうか?

まずは
「マリー・アントワネットの首飾り」(2001)
「ルパン」(2005)
です。
史実でも有名な首飾り事件をモチーフにしており、大小合わせてとはいえ500個以上ものダイヤがふんだんにあしらわれ、「現代の感覚でもおおよそ30億円(Wikipedia調べ)」という首飾りが登場します。
「ルパン」ではこれのレプリカを作ったのはカルティエです。首飾りのみならず、王妃のジュエリー類や冠などもカルティエ・コレクションからの貸し出しだったそうです。宝石以外の室内装飾や調度類も見物です。

「メイド・イン・マンハッタン」(2002)
作中二人が恋に落ちるのがありえない、ファンタジーでも度が過ぎると叩かれまくったファンタジー恋愛映画ですが、二人のダンスシーンでジェニファー・ロペスが身につけている豪華なジュエリーはハリー・ウィンストンのネックレスとイヤリングなんだそうです。
「プリティ・ウーマン」でもオペラを見に行くときにドレスに合わせたネックレスをプレゼントされますが、あれもルビーとダイヤだそうです。

「10日間で男を上手にフル方法」(2003)
10日間で男にフラれるハウツー記事を書けと言われた雑誌記者と、10日間で女をオトせたら大手ダイヤモンド会社の担当にしてやる、と言われた広告代理店の男の駆け引きの話で、タイトルほどヒドくはなかった。
NYの華やかスポットがしょっちゅう出てくるのですが、頂点は主人公がパーティのシーンで身につけるハリー・ウィンストンのジュエリー。総90カラット弱だそうで、とても素敵です。

「ラスト、コーション」(2007)
冒頭にも大きなダイヤとおぼしき指輪をつけた女性たちが出てきますが、物語を大きく動かすのがカルティエ制作の6カラットのピンクダイヤの指輪。
公開当時、「激しいセックスシーンが見どころ」と言われたそうですが、露出が激しいというより暴力的なセックスを含むのでご注意。

「シャネル&ストラヴィンスキー」(2009)
作中のココ・シャネルが身につけているものが全て本物のシャネル。当時のものではなくて、シャネルとカール・ラガーフェルドの全面協力による再現だそうです。
特にクライマックスである再演シーンにてココ・シャネルが身につけているダイヤをふんだんにちりばめたネックレスがはっきり見て取れます。
同じ全面協力でも「ココ・アヴァン・シャネル」でダイヤが出てきたかどうか、ちょっとリストにありません。
同じくシャネル制作のダイヤモンド・ネックレスは「ゴスフォード・パーク」(2001)でも登場します。イギリス貴族のマナーハウスが舞台で、凝り性の監督によってしつらえられているので豪華です。でも貴族本人たちが主役というわけでもないので、ダイヤはちらりです。

「ナイン」(2009)
ニコール・キッドマン演じる女優が、総カラットで数十以上と言われるゴージャスなブレスレットとイヤリングをじゃらじゃら言わせています。ショパールだそうです。
主人公であるダメグズ男の周りにはなぜかきらきらしい女性がいっぱいいて、彼女らが身につけているジュエリーもかなりのものです。

「白雪姫と鏡の女王」(2012)
映画体の出来よりも、后に食われ気味の白雪姫の眉毛ばっかり気になる映画ですが、この作中でジュリア・ロバーツと白雪姫が身につけているティアラ、グレース・ケリーが公妃になったあとで実際に身につけたものを撮影に借りたんですって!ご利益ありそう。ヴァン・クリーフ&アーペルだそうです。
グレース・ケリーが主演の映画でも「上流社会」で大きなダイヤの婚約指輪が出てくるそうです。私はまだ未見ですが、実際にレーニエ公から贈られたカルティエの婚約指輪を作中でも婚約指輪として扱ったという…計10カラット以上だそうで、見ているこちらもため息ものの豪華なダイヤです。
来年公開予定の映画の中にグレース・ケリーを主題にしたものがあって、この婚約指輪ほか、グレース・ケリーが身につけたダイヤのジュエリーがカルティエによる再現で登場するそうです。

他にも未見のものでは。
イングリッド・バーグマンの「汚名」で身につけているネックレスがハリー・ウィンストンのものだそう。
オードリー・ヘップバーンの「おしゃれ泥棒」でもダイヤのジュエリーが出てきます。
#3もふれていらっしゃいますが、「紳士は金髪がお好き」。
ダイヤモンド会社社長からマリリン・モンローが贈られたダイヤのネックレスが出てくるはずです。このカナリアイエロー・ダイヤ、数百年インドの王家所有のあとオーストリアのマリア・テレジアが所有していたという世界でも有名なダイヤのひとつなのです。マハラジャの領地名にちなみ「The Moon of Baroda(バローダの月)」と呼ばれ、24カラットもあります。
実生活でも宝石コレクターだったエリザベス・テイラーの「別離」。ダイヤモンドではなかったかもしれませんが、実際に夫のどなたかから贈られた見事なジュエリーが出てくるそう。
エリザベス・テイラーは死後、遺品となった宝石コレクションがクリスティーズのオークションにかけられています。その中でももっとも注目を集めたのが大粒のダイヤモンドの指輪です。
オークションに際し「The Elizabeth Taylor Diamond」と名付けられた指輪は33カラットを超え、その品質もDカラーのフローレスという破格のもの。
http://www.christies.com/elizabethtaylor/saleroom_legendary_jewels.aspx
それともう一つ、2度結婚したバートンがテイラーに贈ったことから「Taylor-Burton Diamond」と呼ばれるようになった69カラット超のダイヤモンドも、もしダイヤモンドにご興味があればご覧ください。

こんにちは!
「ブラッドダイヤモンド」のようにダイヤを主題にではなく、「世界中がアイ・ラヴ・ユー」のように小道具として出てくる…というだけでもいいのですか??
またダイヤ単体ではなくて、「ダイヤと他の宝石を使ったジュエリー」でもかまいませんでしょうか?

まずは
「マリー・アントワネットの首飾り」(2001)
「ルパン」(2005)
です。
史実でも有名な首飾り事件をモチーフにしており、大小合わせてとはいえ500個以上ものダイヤがふんだんにあしらわれ、「現代の感覚でもおおよそ30億円(Wikipedia...続きを読む

Q数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数はa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交
[(2)の解]
この関数の周期はL=π/2なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入して,
a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx
は上手くいったのですが
a_n=2/π∫[0..π]cos(2nx)dxとなり,ここから
2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxに変形できません。
どのようにして変形するのでしょうか?

宜しくお願い致します。

[問] (1) 数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 は[0,π]で直交である事を示せ。
(2) f∈R[0,π](R[0,π]は[0,π]でリーマン積分可能な関数全体の集合)に対して,数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。
[(1)の解]
<1,cos(nx)>=∫[0..π]cos(nx)dx=0
次にm≠nの時,<cos(mx),cos(nx)>=∫[0..π]cos(mx)cos(nx)dx
∫[0..π]1/2{cos(mx+nx)-cos(mx-nx)}dx=0
となるので数列{1...続きを読む

Aベストアンサー

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでしょうか?
質問の文に
『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx (n=1,2,…))で与えられる事を示せ。』
とあったのでf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)と表せる前提で話をして良いのかなと思ったのです。
また、f∈R[0,π]の関数を周期[-π,π]で展開することも可能なので一概に周期[0,π]とも言えないと思うのです。
(ただし、その場合にも偶関数として展開、奇関数として展開などの適当な前提は要りますが)


どうやら私が質問や問題の内容を推測して回答してしまったのがよくなかったようですね。
今回は補足要求と言うことにしておきます。

・今回の問題(2)の題意は
  fがa_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)で書けることを示すことですか?
それとも
  f(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)とするとa_0=2/π∫[0..π]f(x)dx,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxとなることを示すことですか?

・『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数』とはこの場合どういう意味でしょう?把握してらっしゃいますか?

・fを展開する際の周期ですが本当に[0,π]ですか?
[0,π]ではcos(nx)とsin(mx)が直交しないですし、
f(x)=Σ{b_n*sin(nx)}と奇関数として展開するしか出来ない気がするんですが。

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
>あと,どうしてfは偶関数だと分かるのでし...続きを読む

Qロシアはお金がないと言うけれど、以前にいま現在流通しているダイヤモンドの総数より多い数が眠るダイヤモ

ロシアはお金がないと言うけれど、以前にいま現在流通しているダイヤモンドの総数より多い数が眠るダイヤモンド鉱山が発見されましたよね?

このダイヤモンド鉱山があればお金はいっぱいあると言えるのでは?

なぜロシアは貧困な国なんですか?

ダイヤモンド鉱山掘ればいいのでは?

ロシアってわざと貧しい国のイメージを世界に持たせるのが国策なんですか?

Aベストアンサー

ダイヤモンドに永遠不変の価値あると訴えるデ・ビアスのコマーシャルがあるけど、実はダイヤモンドの価値は”演出”によるもの。
単なる「ひたすら硬い石」に過ぎなかったダイヤモンドの商品性に目を付けた世界的富豪のロスチャイルド家が、装飾用ダイヤモンドの規格を策定すると共に流通を押さえるシンジケートを構成。
今もダイヤモンドの流通はデ・ビアス社を中心とした中央販売機構 (CSO) の統制下に置かれていて、間接的にはダイヤモンドの採掘も支配下においている。

>このダイヤモンド鉱山があればお金はいっぱいあると言えるのでは?
そんな単純な話しでは無い。

元々「作られた価値」の上、新鉱山発見前からすでに市場を飽和させるだけに十分な埋蔵量が確認されている(そのため、CSOが採掘も制御して市場価値を維持している)。
掘り出さなければ”潜在的な価値”があるけど(”絵に描いた餅”とも言う)、ロシアがCSOを無視して大量のダイヤモンドを市場に流したとしても、価値の暴落を起こすのは誰の目にも明らかなんだが・・・

Q{s_n}をf∈L^+(a,b)の定義関数列とする時,lim[n→∞]∫[a..b](f(x)-s_n(x))dx=0を示せ

L^+(a,b) を区間(a,b)上の非負可積分関数全体の集合とする。

f∈L^+(a,b)に対し,定義関数列{s_n}が存在する。その時,
lim[n→∞]∫[a..b](f(x)-s_n(x))dx=0を示せ。
(この∫は単関数のルベーグ積分)

という問題なのですがどのように証明していいのか分かりません。
定義関数列の定義からs_1(x)≦s_2(x)≦…≦f(x)
でs_n(x)はf(x)に近づいていくので0となる事は直観では分かるのですが…。

どのようにすればいいのでしょう?

Aベストアンサー

つまり
s_n(x)の存在を示して
f(x)=lim[n→∞]∫[a..b](s_n(x))dx
が成立するのを言えばいいのではないでしょうか。

P27,28に書いてあります。

参考URL:http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h19/2007kuwabara.pdf


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