ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理
「有界な数列{a_n}n=1,2,... は収束する部分列を含んでいる。」
という定理の証明について、サイエンス社発行、笠原晧司著の「微分積分学」の中で、
「あるaが唯一あって、
∞
∩I_k = {a}, a = lim m_k = lim M_k
k=1 k→∞ k→∞ 」
という記述があるのですが、何故唯一なのかが分かりません。
著作権侵害に当たるといけないので丸写しは出来ないのですが、自分の言葉で置きかえると、
{a_n}は有界だからある閉区間I=[m,M]に含まれる。これを真中でばっさり割って[m,(m+M)/2]、[(m+M)/2,M]を考えると少なくともどっちかには無限個のa_nが含まれる。それをI_1とする。以下同じように、半分に割って無限個含む方をI_kとすると閉区間列I_k=[m_k,M_k](k=1,2,...)が出来て、
I ⊃ I_1 ⊃ I_2 ⊃ ... ⊃ I_k ⊃ ..., M_k - m_k = 1/2^k * (M - m)→0 (k→∞)
従ってあるaが唯一あって、
∞
∩I_k = {a}, a = lim m_k = lim M_k
k=1 k→∞ k→∞
となる、というのが流れです。
半分に割って行く作業で必ずどちらかは有限個しか含まれないのであれば唯一となるのは分かります。
しかし、例えば0,1,0,1,...と言う数列を考えた場合、収束する部分列は少なくとも2つあり、上の「aが唯一あって」という記述に反すると思うのです。
私は何か勘違いをしているのでしょうか?それともこの記述が間違ってるのでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
この証明では,収束する部分列が少なくとも1つ作れるという事を示しているだけで,2つ以上作れないとは言っていません。
例に出されている,{a_n} = 0,1,0,1,... という数列を考えると,
I_1 = [0,1/2] の場合と I_1 = [1/2,1] の場合が考えられますが,どちらにも無限個の a_n が含まれます。
ですから,
I_1 = [0,1/2] とすると収束値 a は唯一 0 となり,
I_1 = [1/2,1] とすると収束値 a は唯一 1 となります。
つまり収束する部分列は少なくとも2つありますが,{I_k} を1つ決めたときにはその収束値 a は唯1つ,という事ではないでしょうか。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 1より大きい実数からなる数列{a[n]}がlim[n→∞]a[n]=1をみたしています。 xy平面上 2 2023/06/10 11:47
- 数学 無限等比数列 r^n の収束・発散の ε-N による証明 2 2023/02/07 13:35
- 数学 三角関数の極限を「はさみうちの原理」で考える時の不等号について 1 2022/07/22 01:13
- 数学 「数列が無限大に発散するならばその任意の部分数列も発散する」という証明がありますが、 {an}= ・ 7 2022/07/31 10:42
- 数学 すべての自然数とすべての実数を1対1で対応させる(すべての実数を一列に並べる)方法について 3 2023/05/26 17:14
- 法学 なぜ日本の有罪率だけほぼ100%の有罪率になっているのか、本当の理由がわかる方は教えて 1 2022/11/22 20:29
- 数学 微分可能 連続 わからない 3 2022/06/22 17:22
- 数学 ある無理数に限りなく近い有理数は無理数ですか、有理数ですか。 13 2023/01/31 11:18
- PHP PHPの構文で間違えが分からない 5 2022/07/11 16:38
- 数学 有界な無限数列は収束する部分列をもつ a(n)=ー1^n みたいな振動する有界な無限数列の部分列って 2 2022/06/20 09:24
おすすめ情報
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報