テイラー展開

テイラー展開

次の問題の解き方を教えてください。

f(x)=arctan xに対して、次の問いに答えよ。
(1)f(x)の２次のマクローリン展開を求めよ。


途中まで一応解いてみたのですが、ここまでも合っているか分かりません(汗)

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/22 13:18

添付画像が読めないので、添削ではなく、勝手に回答を書きます。

関数 f(x) の「二次マクローリン展開」とは、
f(x) = f(0) + f'(0)x + (1/2)f''(0)x^2 + R(x)
なる R(x) を「剰余項」と定義すること。
lim[x→0]R(x)/x^2 = 0 である場合に、
f(x) ≒ f(0) + f'(0)x + (1/2)f''(0)x^2
と考えることを「二次マクローリン近似」と言う。

f(x) = arctan(x) については、
f(0), f'(0), f''(0) のうち一番やっかいなのは
f(0) かもしれない。

arctan を定義する方法は、様々あるが、それが
arctan(x) = ∫dx/(1+x^2) なら、微分するのは簡単。
微分方程式の分野では、こう定義することもある。

大学の解析教程では、マクローリン展開を示して
それを定義とするのが普通だろうが、それでは
質問の問題が問題にならない。

高校などで習うのは、arctan は tan の逆関数というもの
だろう。その際、tan を可逆な関数とするために、
tan の定義域(arctan の値域)を制限しなければならず、
制限の仕方によって arctan(0) の値は変わってくる。
arctan(0) = 0 のものだけを arctan と呼ぶ立場、
連続な枝を arctan で総称し、初期値を付記する立場、
arctan(0) = 0 の arctan は Arctan と書き分ける立場
などがある。慣習的には、arctan(0) = 0 であろうと思う。

とりあえず、f(0) = 0 とする。

f'(x) を求めるのは、arctan の定義さえ解ってしまえば
高校範囲の計算。
y = arctan x と置いて、逆関数の微分法則から
f'(x) = dy/dx = 1/(dx/dy),
dx/dy = (d/dy)(tan y) = 1/(cos y)^2 = 1 + (tan y)^2
より f'(x) = 1/(1+x^2).
tan が周期内で単調な関数であるために、
f(0) の値が違っても、f'(x) は共通となる。

(d/dy)(tan y) の細部は、商の微分法則によって
(d/dy)(tan y) = {(sin y)/(cos y)}'
= {(sin y)'(cos y) - (sin y)(cos y)'}/(cos y)^2
= {(cos y)^2 + (sin y)^2}/(cos y)^2
= 1 + {(sin y)/(cos y)}^2
と示すこともできる。

上記より、f'(0) = 1.

f'(x) が判ってしまえば、f''(x) は分数関数の微分であり
f''(x) = {(1+x^2)^-1}' = {-(1+x^2)^-2}(1+x^2)' = -2x/(1+x^2)^2.
よって、f''(0) = 0.

以上より、二次近似は f(x) ≒ f(0) + x.


いやいや、tan が奇関数であることから、arctan(0) = 0 なら
arctan も奇関数であり、マクローリン展開の偶数次項は 0
であることを最初に言えば、f'(0) を計算するだけでよかったか。
その場合、f'(x) = 1/(dx/dy) に x = 0 を代入すれば、
(tan x)'[x=0] を求めるだけで終わる。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/06/22 08:04

No.1です。

添付画像が暗く、ぼやけていてはっきり見えない。
直打ちして、画像をスクリーンコピーして切り取ってペイントに貼り付け
JPG画像にすれば、鮮明な画像がアップできるだろ。

携帯カメラ使うならもっと鮮明画像を取らないと、特にぼけた小さな文字は判読不能になるだけ。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/06/22 07:56

>途中まで一応解いてみたのですが、ここまでも合っているか分かりません(汗)

途中まで解いたなら、それを書いた上で、詰まってるところを質問するように！　「ここまで」って何も書いてないから「どこまでか」わかるはずないだろ！

(1)
>f(x)の２次のマクローリン展開を求めよ。

f(0)=0,
f'(x)=1/(x^2+1),f'(0)=1
f''(x)=2x/(x^2+1)^2,f''(0)=0
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2+ ...
=x+ ...

この回答へのお礼

途中まで解いた写真を載せたのですが、画質が悪かったみたいです。すみません。

お礼日時：2013/06/22 09:43