α‬、β、γが鋭角で、tanα‬=3、tanβ=5、tanγ=11/3のとき、次の値を求めよ (2)

α‬、β、γが鋭角で、tanα‬=3、tanβ=5、tanγ=11/3のとき、次の値を求めよ

(2)α‬+β+γ


この答えで、赤く引いた線の式を立てた意味が分かりません。教えてください！

質問者からの補足コメント

• 赤い線の式の意味というか、√3が出てきた意味を教えていただきたいです！

    補足日時：2023/06/03 11:22

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/03 13:28

加法定理を使うと、写真の計算のように

tan(α+β+γ) = 1 であることが決まりますね。
ここから α+β+γ の値を求めるのですが、

tanθ = 1 となる θ は、tan の周期性により
θ = π/4 + nπ (nは任意の整数) と無数にあります。
α,β,γ が鋭角という条件だけでは、
0 < α+β+γ < (3/2)π の範囲となって
α+β+γ = π/4, (5/4)π の２つが含まれます。

質問の箇所は、与えれれた tanα, tanβ, tanγ の
具体的な値を使って、α+β+γ の値を
上記２つの候補のうちどちらか一方に絞り込めないか？
を考えているのです。

θ が鋭角の範囲で tanθ は単調増加ですから、
tanα = 3, tanβ = 5,tanγ = 11/3より
arctan 3 = α < γ < β = arctan 5 と判り、
3 arctan 3 = 3α < α+β+γ < 3β = 3 arctan 5 です。

あとは、arctan 3, arctan 5 の値を
α+β+γ = π/4 なのか α+β+γ = (5/4)π なのかが
決められる程度の精度で近似できれば完了ですね。

そのために、写真の解答では、
tan(π/3) = √3 < 3 であることを思い出して
π/3 = arctan(√3) < arctan 3 から
π < 3 arctan 3 < α+β+γ を導いたのです。
これで、α+β+γ の値は (5/4)π のほうだと判ります。

tan(π/3) = √3 を利用したのは、たまたま思いついたからでしょう。
他に使える有名角があれば、他のものを使ってもかまいません。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/06/03 11:36

全体の「論理の進め方」を考えて見ればよい。

まずは、α、β、γは「鋭角」なので、tan の大きさから
　α < γ < β

かつ
　tan(α) = 3 より　tan(π/3) = √3 < 3 = tan(α)
より
　π/3 < α

「鋭角」なので
　β < π/2

これをまとめて
　π/3 < α < γ < β < π/2

これが赤線の部分だけど、どこがどう分からないのですか？

何のためにこれを求めているかといえば、そこから下に書いてあるように
　3α < α + γ + β < 3β
なので
　π < α + γ + β < (3/2)π
これで「α + γ + β」は「第3象限」の角度だということが分かります。
この「どの象限にあるか」を調べるために、上の大小関係を求めているのです。

そうすれば、その上に書いていある
　tan(α + γ + β) = 1
が分かったとして、
　α + γ + β = π/4
ではなく
　　α + γ + β = (5/4)π
だということが確定できます。

そういった「何のためにそれをするのか」を理解しない限り、上のような「赤線の部分が正しいことは分かった」と言えても何の意味もありませんが。
「問題を解くために、どんな戦略を用いるか」ということを最初に考えなければいけません。
「練習問題」を通じて、そういう「戦略」を学ぶのです。

No.2 回答者： nantokanaru 回答日時： 2023/06/03 11:18

計算に使うための角度の範囲を絞り込んでいます。

１）α、β、γがそれぞれ鋭角なので、０＜１つの角度＜π/２

２）√３＜tanα＜tanβ＜tanγより、π/3＜１つの角度＜π/２

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/06/03 11:15

なんで？

α‬、β、γが鋭角 ならば、角度が大きく成れば tan の値も 大きくなりますよね。
で tan(π/3)=√3 ですから、tanα=3 ならば (π/3)<α となる筈ですね。
従って あなたが アンダーラインを引いた式になります。
勿論 鈍角ですから γ は π/2 未満です。