y=tanx（0＜x＜π/2）の逆関数を y=g(x) とする。 このとき、g'(x)をxの式で表せ

y=tanx（0＜x＜π/2）の逆関数を y=g(x) とする。
このとき、g'(x)をxの式で表せ。

この問題がわかりません。教えてください！

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2018/02/12 13:44

x=tan(g(x))

xで微分すると
1=g'(x)/cos^2(g(x))
=g'(x)(1+tan^2(g(x)))
=g'(x)(1+x^2)
故に
g'(x)=1/(1+x^2)

No.2 回答者： ユーヒ 回答日時： 2018/02/12 13:45

逆関数というのはy=の形をx=の形に直して、xとyを入れ替えます。

よって、
y=tanx
x=y/tan
y=x/tan (xとyを入れ替える)

y=x/tanをxの式で表せばいいから、
x=tany

以上です。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/12 13:48

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

よって、g'(x)=1/(1+x^2)

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun …

No.4 回答者： ji6 回答日時： 2018/02/12 14:22

まず、(tanx)'=1/cos²x=1+tan²x を確認しておきます。

① y=tanx の逆関数は　x=tany …(A)
② (A)の両辺をyで微分すると　 dx/dy =1/cos²y =1+tan²y …(B)
③ (B)より　dy/dx= 1/(1+tan²y)
⑤ (A)より　dy/dx=1/(1+x²)

この回答へのお礼

y=tanxの逆関数がx=tanyというのが分かりません…。

お礼日時：2018/02/12 16:20

No.5 ベストアンサー 回答者： ji6 回答日時： 2018/02/12 16:36

y=f(x) の変数xとyを入れ替えた x=f(y) が逆関数です。

逆関数を答えるときはここから、y=…　の形に整えます。
ここでは、y=…と整えずに計算を進めました。

この回答へのお礼

逆関数を求める時はy=f(x)をx=g(y)の形にしてからxとyを入れ替えると習ったのですが、変形せずにそのまま入れ替えても大丈夫なのでしょうか？

お礼日時：2018/02/12 17:28

No.6 回答者： ji6 回答日時： 2018/02/12 17:43

大丈夫です。

(定義域等については省略)

この回答へのお礼

それはy=tanx以外の全ての関数について成り立ちますか？

お礼日時：2018/02/12 17:52

No.7 回答者： ji6 回答日時： 2018/02/12 18:09

"入れ替える"という表現がよくなかったのでしょうか？

変数xをｙに、変数yをxに書き換えるだけです。
この状態を逆関数と表現するのは厳密には正しくないかもしれません。