上界と上限と最大値の違い

Question

上界と上限と最大値の違いはなんでしょうか
なんとなく違う気はするのですが、うまく説明することができません
これらはどのように使い分ければよいのでしょうか
明確な定義などはあるのでしょうか

funoe · Accepted Answer

＞明確な定義などはあるのでしょうか

うーーん、上界とか上限って言葉は高校数学までには出てこないですよね。
「その言葉を知っているが定義を知らない」という状況が思いつきません。
後学のため、「どうしてその言葉を知っているのか」のか教えていただければ幸いです。

定義は、次の通りです。

・xがＡの上界　⇔　すべてのＡの要素ａについて、ａ≦ｘ
　つまり、ｘより大きいｙについても　ａ≦ｙ　となるのでｙもＡの上界になります。

・ｘがＡの最大値　⇔　すべてのすべてのＡの要素ａについて、ａ≦ｘ　かつ、　ｘはＡに含まれる(ｘはＡの元である）
　つまり、Ａの元の中で一番大きいヤツです。当然1個しかありません。
　上界があっても考えている世界(全体集合)によって、最大値がないときがあります。実数の世界で、Ａ＝｛x；xは実数　かつ　ｘ<1｝　なんてとき、Ａに最大値はありませんね。
　自然数や整数の世界では上界があるなら最大値があります。

・ｘがＡの上限　⇔　ｘはＡの上界の最小値
　上界があっても考えている世界(全体集合)によって、上限がないときがあります。有理数の世界で、Ａ＝｛ｘ；ｘは有理数　かつ　ｘ^2<2｝　なんてとき、Ａに上限はありません。
　実数の世界では上界があるなら上限があります。

noname2727 · Answer

例えば、
A＝｛x∈R｜a≦x≦b｝
としたとき、
Aの最大値max(A)=b
Aの上界とは、
任意のx∈Aに対してある数c∈Rが存在して　
x≦c
を満たすc∈Rを指すので、この場合b以上のすべての実数が上界となります。
Aの上限とは、Aの上界の中の最小値なので、上の場合
c＝b
が上界となります。つまりAの上界sup(A)=b

お分かりいただけたでしょうか？

ちなみに、
B＝｛x∈R｜a≦x＜b｝
のときも、sup(B)=bですが、max(B)は存在しません。

funoe · Answer

訂正：
　最大値とか上限とか、さっきの例だと「１」ではなく、「０」ですね。なに考えているんだか。

＞明確な定義などはあるのでしょうか 
そりゃあるでしょ。

最大値：取りえる値の中で一番大きい値。
上界　：取りえる値は、どれも上界以下。上界より大きい値はとらない。
　　　　f(x)≦A　ならAは上界（の、ひとつ）
上限　：簡単にいえば上界の最小値。
　　　　めんどくさくいうと、取りえる値は、どれも上限以下でかつ、上限より大きいちょっとでも小さい値より大きい値をとることがある。
　　　　f(x)≦Ｂ　でしかも、ほんのちょっとの正のεでも、Ｂ-ε＜f(x)となるｘがあるときＢが上限。

--
実数の世界で考えているとき、
最大値があれば、それ以上の数はすべて上界。
最大値があれば、それは上限。
上界があれば、上限がある。（有理数の世界ではそうとは限らない。例：｛√２以下の有理数｝）
上界がなければ最大値も上限もない。

funoe · Answer

f(x)=1-1/x を　定義域（0,1）で考える。

この範囲でf(x)の最大値は「なし」

上限は、１

上界は、１以上の数はなんでも。１も上界、２も上界、３も上界、１００も上界。

最大値は、その値をとるその瞬間が実在しなきゃいけない。

上限は、その範囲での最大値っぽいけど、その瞬間がなくてもよい。

上界は、「上限は、せいぜいこれよりは小さいぜっ」ってな感じの適当な値。

f(x)=1-1/x　を定義域[0,1]で考えると、

この範囲でf(x)の最大値は１。
上限も１。
上界は、１以上の数はなんでも。１も上界、２も上界、３も上界、１０００も上界。

上界と上限と最大値の違い

＞明確な定義などはあるのでしょうか

この回答への補足

例えば、

訂正：

f(x)=1-1/x を 定義域（0,1）で考える。

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