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(1)関数f(x)=ax^3-3ax^2+b (a>0)の区間-2≦x≦3における最大値が9、最小値が-11のとき、定数a、bの値を求めよ。


(2)3次関数y=x^3-3x^2-8x+4と直線y=x+aが異なる3点で交わるような定数aの値の範囲を求めよ。

(1)と(2)はそれぞれ関係のない別々の問題です。
授業では殆どスルーだったのでよくわかりません。
すみませんが教えてください。

A 回答 (1件)

>(1)関数f(x)=ax^3-3ax^2+b (a>0)の区間-2≦x≦3における最大値が9、最小値が-11のとき、


>定数a、bの値を求めよ。
f'(x)=3ax^2-6ax=3ax(x-2)f’(x)=0とおくと、x=0,2
増減表により、(自分で作って下さい)
極値を求め、区間の端の値を求めて、最大値、最小値について調べます。
最大値の候補は、x=0と3のとき、
x=3のとき、f(3)=b
x=0のとき、極大値f(0)=b どちらも同じ値だから最大値b=9
最小値の候補は、x=-2と2のとき、
x=2のとき、極小値 f(2)=-4a+b=-4a+9
x=-2のとき、f(-2)=-20a+b=-20a+9
a>0だから、最小値は-20a+9=-11より、a=1
よって、a=1,b=9

>(2)3次関数y=x^3-3x^2-8x+4と直線y=x+aが異なる3点で交わるような定数aの値の範囲を求めよ。
x^3-3x^2-8x+4=x+aとおいてから、右辺のxを移項して、
x^3-3x^2-9x+4=a
y=f(x)=x^3-3x^2-9x+4とy=aの交点の数について調べます。
f'(x)=3x^2-6x-9
=3(x+1)(x-3) f'(x)=0より、x=-1,3
増減表により、
x=-1のとき、極大値f(-1)=9
x=3のとき、 極小値f(3)=-23
y=aのグラフと異なる3個の点で交わるのは、極小値から極大値までの間だから、
求めるaの値は、-23<a<9
グラフを描いても分かりますが、増減表の様子から分かります。
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