f(x)=(logx)^2/x〔0<x〕の極値を求めなさい。
という問題で、まず導関数f'(x)を求めると
f'(x)=logx(2-logx)/x^2となりました。
ここで学校で教わったとおりだと、f'(x)=0となるxの値を求めて、増減表を書けばすぐに解けると思うのですが、あえて「極値とは導関数の符号が変化する点のxの値」という本質(増減表の利用も同じことを言っているのですが…)から考えるとします。
するとf'(x)の分母は2乗ですから常に正となり、符合の変化に関与しません。そこでf'(x)の分子だけに着目し、これをg(x)とします。そしてg'(x)を求めると、
g'(x)=2(1-logx)/x
よってg'(x)の符号は分子から考えてeの前後で変化します。ゆえにg(x)の増減もeの前後で変化します。さらにこれはf'(x)の分子でありますから、結局はg'(x)のの符号変化がf'(x)符号変化までたどり着き、f(x)はx=eで極値をとると判断しました。
しかし…このやり方だと増減表のやり方でやった答えと違い、もちろん増減表でやったほうの答えが正答です。
どこで考え方が間違っていたのでしょうか?
長くなってしまいましたが、アドバイスよろしくお願いします!
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
f'(x)の分子をg(x)とおきました。
なので、g(x)=0となるxの前後の符号変化を見なければいけません。
g'(x)=0となるxの前後の符号変化を見ても意味がないです。
まったくご指摘の通りです!
g'(x)はg(x)の変化を調べるための道具にすぎないのに、うっかりg'(x)の変化を調べていました...
こんなくだらない質問に答えていただきありがとうございます!
No.2
- 回答日時:
“極値をとる値”を算式で表現すれば、「f'(x)=0かつ十分小さい正の数εに対してf'(x-ε)*f'(x+ε)>0となるx」のことだと思います。
(適当に書いたのであまり自身なし)少なくとも「導関数が極値をとるxの値」ことではありません。ましてや、「導関数“の分子”が極値をとるxの値」は、「導関数が極限をとるxの値」とも異なります。
f'(x)=0を解くだけでは不十分ですが、増減表を書くという行為は、「f'(x)<0, f'(x)=0, f'(x)>0」の3つの式を解いている(&「転換法」により、各xに対するf'(x)の正負を網羅的に表現している)ことに相当するのです。これにより、f'(x)=0となる点が、「極値なのか、そうでない(例:y=x^3におけるx=0)のか」をはじめて見分けられるのです。(ご存知ですよね?)
f'(x)=0を解くのが本質ではなく、増減表(によりf'(x)の正負を網羅的に書き出すこと)こそが本質なのです。f'(x)=0を解くのは、「増減表を書くための“仕切り”を明確にする手段にすぎない」ことをご理解下さい。
かくいう私も、高校時代に増減表を書かなかったことで減点されたことがあり、当時は納得がいきませんでした。(笑)
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