平均変化率

変化の割合と平均変化率、求め方は同じですよね。

平均変化率という言葉が必要な理由として、

曲線は変化の割合は一定ではない。
一定ではないので、「割合」という言葉が合わない。
そこで、「平均」という言葉を用いている。

このように理解するのは間違っていますか？
間違っていれば何が正しいのか教えてほしいです。

No.3 回答者： goo-learner 回答日時： 2015/01/25 20:08

教科書等を見ると、変化の割合も平均変化率も

(f(b) - f(a))/(b - a)

で同一の定義となっています。
ここからは、日本語的側面からの私見ですが、「平均変化率」と言うからには、そもそも「変化率」なるものがあって、それの平均値と理解するのが自然ではないでしょうか？そう考えると区間[a,b]で微分可能な関数なら、

変化率 = f'(x)

と考え、それの[a,b]での平均値

(∫[a->b]f'(x)dx)/(b - a) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

となりますから「変化の割合」と同じです。
しかし、[a,b]で微分不可能な部分があれば、定義できなくなります。

したがって、「変化の割合」は、区間[a,b]で関数が微分不可能な部分があっても問題ないが、「平均変化率」は、区間[a,b]のすべての点で変化率f'(x)が定義されていなければならないのではないかと考えた次第です。

ご質問に対してですが、計算の方法は同じです。

No.2 回答者： hiccup 回答日時： 2015/01/25 19:12

私は何が正しいのか知りませんが、私見を述べさせていただきます。

まず、平均変化率ということばでは、初学である中学生の多くがひるんでしまうのではないでしょうか。私はそう思いますので、変化の割合という易しいことばが使われるのは妥当だと思います。
また、変化の割合は、「 x の変化量に対する y の変化量の割合」のようなものの省略形だと思いますが、これは平均変化率ではありませんか？

まとめると、学習の段階で異なる名称を用いたいケースがある、ということです。


それから、気になるのは

> 曲線は変化の割合は一定ではない。

の部分です。曲線とは図形の名称ですが、媒介変数から平均変化率を語っていますか？矢印ベクトルのような。
違いますよね。おそらく関数のグラフといいたかったのでしょう？
私は、平均変化率や微分などは関数の概念で、グラフ側の概念ではないと思います。グラフにこのように現れる、と語ることができるのだと考えます。小さいことですが、このように考えている人から見ると、グラフだとしても、ひっかかります。
ニュートン流です、と言われれば、ほんとかよ！とツッコミますが。

以上、ご参考までに。

No.1 回答者： ryumu 回答日時： 2015/01/25 18:44

特に区別は無いように思います。

感覚的には、変化の割合というと、一次関数 y=ax+bの「変化の割合」=a=「傾き」という感じで、平均変化率は高次関数の場合に使うことが多いかも知れません。
とは言うものの、ただ呼び名がいくつかある、という感覚で良いと思いますよ。
ただ、平均変化率という方が、固い言い方に聞こえるとは思いますがね＾＾；