数Aの図形問題について、解説をお願いします。

＝＝＝【問題】＝＝＝

平面上の直線ATに対して、点Tにおいて円Cが接している。
さらに、点Aを通る直線Lが円Cと異なる2点で交わっており、Aに近い方の点をP、他方をQとする。
AT=12, TP=6, TQ=8, cos∠AQT=11/16であるとき、以下の問いに答えよ。

(1)線分の長さAP、PQ

＝＝＝【私の解答】＝＝＝

三角形PQTについて、余弦定理より

cos∠PQT=(8^2+PQ^2-6^2)/2*8*PQ
=cos∠AQT
=11/16

⇔ 11PQ=PQ^2+28
⇔ PQ^2-11PQ+28=0
⇔ (PQ-4)(PQ-7)=0

∴PQ=4, 7

＝＝＝＝＝＝

答えはPQ=7でしたが、PQ=4の扱いについて気になります。

PQ=4が不適であるにはここからどうすすめればいいのでしょうか。

教えてください。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/11/23 15:26

与えられた条件が、三角形の合同条件である

①　三辺の長さがそれぞれ等しい
②　２辺とその間の角がそれぞれ等しい
③　１辺とその両端の角がそれぞれ等しい
であれば、三角形はただ１つに決まるわけですが、
三角形PQTは、どれにも当てはまりません。
だから、添付図 Ｉ の△PQTと△P’QTのように、三角形が２つできます。（PQ=7、P'Q=4 です。）

TQ＝８、 cos∠AQT=11/16　から∠AQTが決まるので、
Tを中心に半径 ６ の円を描き、直線AQとの交点がPになります。（図のP、P'）

PQ=4が不適であることは、
TからAQに垂線THを引くと、△TQHで、
HQ=QTcos∠AQT=8･(11/16)＝11/2
PQ>HQ　だから　PQ=4　は不適
とできるのではないでしょうか。

答えが２つ出てきて、そのうちの１つを除外するのはなかなか難しいので、
△ATQで、余弦定理より
12^2=AQ^2+8^2－2･AQ･8･cos∠AQT
144=AQ^2+64－2･AQ･8･(11/16)
AQ^2－11AQ-80=0
(AQ-16)(AQ+5)=0
AQ=16、－5
AQ>0 より
AQ=16

添付図 II で、Tを中心に半径 12 の円と直線AQとの交点がAになります。（図のA、A'）
AQ=12　で、AQ=－5（向きが反対なので、「－」になります。）　

このように、負の値であれば、明らかに除外できますね。

また、接弦定理を使うと、
∠PTA=∠AQT
だから
cos∠PTA=cos∠AQT=11/16
△PATで、余弦定理より
AP^2=12^2+6^2－2･12･6･cos∠PTA
＝144+36－2･12･6･(11/16)
＝144+36－99
＝81
AP>0より
AP=9

となり、答えが重解だから、除外する必要がありませんね。

基本的には、質問された、答えが２つ出るような解答よりは、
答えが１つにしぼれるような解答をするのがいいと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞PQ=4が不適であることは、
＞TからAQに垂線THを引くと、△TQHで、
＞HQ=QTcos∠AQT=8･(11/16)＝11/2
＞PQ>HQ　だから　PQ=4　は不適

なるほどです。
実は別のアプローチで解きなおしたとき、まさに接弦定理を利用する方法でAP=9を出せたのですが、一回目の回答でPQが二つ出た原因がわからなかったので質問させていただきました。

お礼日時：2015/11/23 16:28