数列を勉強しようと思って、数学に関するサイトを見ていると次のように書いてありました。

「現在ネズミが10匹います。ネズミは毎年、親の数と同じ数の子供を生むが、必ず4匹死ぬ」 としましょう。 「必ず4匹死ぬ」があるので、ネズミの数anは、等比数列にはなりません。 では、一般項は、どう書けるのでしょうか? 答はすぐには分かりません。 けれど少なくとも、
an+1=2・an-4
a1=10
とは必ず書けますよね。

と書いてあったのですが、どうしてこうなるのか分かりません。どうしてan+1=2・an-4 と表せるのですか?
anの部分に何で+1されてるのかも、どうして右辺が2・an-4 になっているのかも全く分かりません。高校数学は全然できないので、回りくどくなってしまうのかもしれませんが、難しいことはナシに、易しく教えてください。お願いいたします。

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A 回答 (4件)

>高校数学は全然できない


ようですので、基本的なことから書きます。

数の列を数列といいますが、たとえば次の数列を考えてみましょう。
(1) 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,33,37,40,43,.......
この数の列はある規則に従っているとします。
すると、43の次は何が来るか分かりますか?
46,で、その次は49でしょうね。
ところで数列(1)の4個目の数字は10ですが、このことを
第4項目は10である
と表現します。よって
第5項目は13である
第14項目は40である
などといえますね。
でも、いちいちこんな風に書くのはメンドーなので
第4項目は10である、というのをA(4)=10 と書くようになったのです。
Aというのは数列(1)の名前だと思ってください。
Aという数列の第4項目だからA(4)とかく、という感じです。
だから、
第5項目は13であるというのはA(5)=13
第14項目は40であるというのはA(14)=40
と表現するわけです。ほかにも
A(1)=1,A(10)=28,A(15)=43,A(16)=46
とかけますね。
さて、数列(1)の第100項目、すなわちA(100)を知りたいときは
どうすればよいでしょう。
46,49,52,55,58,61,64,67,70,73,76,........
という風に100項目まで書いていくというのも、
確かに1つの方法です。でもこの方法だとたとえばA(2000)を求めることは
はっきりいって絶望的ですよね。
A(100)だろうがA(2000)だろうがA(456321)だろうが
たちどころに計算できてしまう夢のような式が欲しいと思いませんか。
そしてその夢のような式は(この場合は)意外と簡単にもとまって、
A(n)=3n-2
となります。
nに10を入れると A(10)=3×10-2=28
となって、第10項目が28だと分かります。
第100項目は A(100)=3×100-2=298
第2000項目は A(2000)=3×2000-2=5998
となります。
そして、この”夢のような式”のことを一般項と呼びます。
A(n)のことを一般項という、と思ってください。
(以上、私が高校生に数列を教えるときのやり方)

さて本題。
A(n)というのは第n項目の数字を表しています。
だからA(n+1)というのは第n+1項目の数字を表しています。
an+1=2・an-4
つまり A(n+1)=2An-4 というのは
第n+1項目と第n項目の間にはどんな関係があるのかを表した式ですね。
このような式を漸化式(ぜんかしき)とよびます。
数列(1)で漸化式を作ってみましょう。
数列(1)の特徴はどんどん3を足していることですね。
だから 第n+1項は第n項に3を足せば得られることになります。
よって、A(n+1)=A(n)+3
という式が成り立ちます。
では、ネズミの話。
n年目のネズミの数をA(n)とすると
A(n+1)はn+1年目のネズミの数ですね。
n+1年目のネズミの数はどうなっているかを考えます。
n年目のネズミたちは皆、子を産むので、
n+1年目のネズミの数はn年目のネズミの数の2倍になっています。
でも4匹死ぬので、結局
(n+1年目のネズミの数)=2×(n年目のネズミの数)-4
となります。よって、
A(n+1)=2A(n)-4
となります。
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この回答へのお礼

とても丁寧に、1から教えてくださってありがとうございました。理解することができました。

お礼日時:2001/06/18 12:48

易しい説明、できるかな? その自信が「なし」なんですけど....



「あなたはネズミの住んでいるおうちを、毎年1度決まった日にちに訪ねます。(たとえばあなたはサンタクロース。毎年クリスマスイブにネズミのおうちを訪ねるんだ、というのでも良いのです。)
○1度目に訪ねたときのネズミの数A1 は10匹でした。
A1 = 10
○2度目に訪ねたときのネズミの数A2 が1度目に訪れたときの数A1よりどれだけ増えたか数えてみると、「1度目に訪ねたときに居たねずみの数A1より4匹だけ少ない数」=(A1 - 4)匹増えていました。
A2 = A1 + (A1 - 4) = 2・A1 - 4
○3度目に訪ねたときのネズミの数A3 を2度目に訪れたときの数A2よりどれだけ増えたか数えてみると、「2度目に訪ねたときに居たねずみの数A2より4匹だけ少ない数」=(A2 - 4)匹増えていました。
A3 = A2 + (A2 - 4) = 2・A2 - 4
  :
  :
○n度目に訪ねたときのネズミの数An をn-1度目に訪れたときの数An-1よりどれだけ増えたか数えてみると、「n-1度目に訪ねたときに居たねずみの数An-1より4匹だけ少ない数」=(An-1 - 4)匹増えていました。
An = An-1 + (An-1 - 4) = 2・An-1 - 4
○n+1度目に訪ねたときのネズミの数An+1 をn度目に訪れたときの数Anよりどれだけ増えたか数えてみると、「n度目に訪ねたときに居たねずみの数Anより4匹だけ少ない数」=(An - 4)匹増えていました。
An+1 = An + (An - 4) = 2・An - 4
  :
  :

という意味。

>「現在ネズミが10匹います。ネズミは毎年、親の数と同じ数の子供を生むが、必ず4匹死ぬ」
という文章は、誰にでもはっきり意図が伝わるような十分な説明だとは思えません。特に記号anの意味が書いてない。さらに「現在」「親」「子供」という余計な言葉があるためにかえって分かりにくくなっています。
「毎年のいつ産まれるの?ネズミは親になるまで何日掛かるの?どのネズミが死ぬの?親?子?現在10匹だとして、未来の話をしているの?過去の話をしているの?」そういう疑問が湧いて当然ですよ。
 でも実は、親も子供もない、単にネズミの数の増え方の規則を述べただけ。

 ご覧になったサイトでは、この文章が出てくる前におそらく「現在ネズミが10匹います。ネズミは毎年、親の数と同じ数の子供を生む」というような例題があり、記号anの意味も、そこでもう少し丁寧に説明されているのかも知れませんね。例えば「1年たてば子ネズミもみんな親に成長している」という前提もはっきり書いてあるのかも。
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n+1はaより小さな大きさで書きますから区別してAとしました。


(ここでは掲示板ですからこの大きさで我慢してね)
またAnは一般項となります。
これは簡単に、まず基本的に漸化式には2つの表し方(まあ公式みたいなもの)があります。
1.
 An+1=An+d(n=1,2,・・・)
 初項A、公差dの等差数列を表す。
2.
 A1(通常は1はAの右下に小さく書く)=a
 An+1=rAn(n=1,2,・・・)
 初項A、公比rの等比数列を表す。

となります。まずこれをしっかり把握しておくことです。
これの1に数字を代入していけば良いわけです。
2倍になるのは親の数だけ子供が増えるということから2倍する。-4は死んでしまうネズミの数となる。
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まずanのnの部分は年をあらわします(これを添え字といいます)。


現在ネズミが10匹います;1年目にはねずみが10匹、つまりa1は10です。これは大丈夫ですね。
次の年ねずみは親の数と同じ数の子供を産む、そして4匹死ぬ。
最初にいた数は10匹、これと同じ数の子10匹、そこから4匹死ぬ。これを式であらわすと、
a2=10+10-4=16
これをこう表して見ましょう
a(1+1)=a1+a1-4
=2*a1-4
これが一般のnに対して成り立つ、つまり
a(n+1)=2an-4
となるわけです。
ちなみにこの式だとねずみは生まれて1年以内に子供を産むことになります。
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ここで a1-a0=√2-1>0
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ここでx~2=1+x
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a2=1+√1+a1 < √1+2=√3
a3=√1+a2 < √1+2=√3

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M~2=1+M
M=1+√5/2 1-√5/2
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M=1+√5/2

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ここで a1-a0=√2-1>0
an+1-an>0 (n=0,1,2...)

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a3=√1+a2 < √1+2=√3

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> ねずみが嫌う周波数は15KHz~20KHzなのですが
> 低コストで作製可能でしょうか。

単に15K~20KHzの発振回路なら低コストで簡単に出来ますが...
市販のねずみ駆除用の物を調べたことは無いので、何とも言えませんが、
人間の可聴領域にかかるくらいのところですし、聞こえなくても人体に
影響があるとか考えられるので、出力、波形などノウハウがあるのでは??

単に発振回路の話をすれば、大きく分けると正弦波発振回路と弛張発振
回路があり、それぞれLC発振回路・水晶発振回路・CR発振回路とマ
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Qa1=1 , an+1 = √1+an (n=1 ,2,3・・)に対して

a1=1 , an+1 = √1+an (n=1 ,2,3・・)に対して
(1) a2 n+1-a2n = an -an-1 が成り立つことを示し、数列{an}が単調数列であることを示せ
(2) an<2 となることを示せ
(3) lim an を求めよ
うまく数列の小さい文字(aの右下の1とかn)が打てないので ワードで書いたものを添付します。あと、√の中には1+anまで入ります。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

証明すべき式の左辺へ、a[ ] の漸化式を代入すれば、
{ a[n+1] }^2 - { a[n] }^2
= { √(1 + a[n]) }^2 - { √(1 + a[n-1]) }^2
= (1 + a[n]) - (1 + a[n-1])
= a[n] - a[n-1]
となります。

左辺を因数分解して、
(a[n+1] + a[n])(a[n+1] - a[n]) = a[n] - a[n-1] ですが、
漸化式より直ちに、a[ ] > 0 ですから、a[n+1] + a[n] > 0。
従って、a[n+1] - a[n] と a[n] - a[n-1] は同符号です。
a[2] - a[1] = (√2) - 1 > 0 より、帰納的に、
任意の n について a[n+1] - a[n] > 0 であることが示せます。

a[n] < 2 のとき、a[n+1] = √(1+ a[n]) < √3 < 2 ですから、
(2) も、帰納法で示せます。

(1) より前に、(2) を兼ねて、
0 < a[ ] < 2 か 1 < a[ ] < 2 を帰納法で示してしまったほうが、
話の流れがスムースかもしれません。

(1)(2) と 「上に有界な単調増加列は収束する」という定理 (*) より、
lim[n→∞] a[n] は収束します。
よって、漸化式より、lim[n→∞] a[n] = √(1 + lim[n→∞] a[n])。
両辺を二乗して、二次方程式を解けば、a[ ] > 0 より
lim[n→∞] a[n] = (1+√5)/2 と解ります。

(*) Bolzano-Weierstrass の定理
http://hooktail.maxwell.jp/kagi/3be153db59f09c5327a4480f1694a1c9.html

証明すべき式の左辺へ、a[ ] の漸化式を代入すれば、
{ a[n+1] }^2 - { a[n] }^2
= { √(1 + a[n]) }^2 - { √(1 + a[n-1]) }^2
= (1 + a[n]) - (1 + a[n-1])
= a[n] - a[n-1]
となります。

左辺を因数分解して、
(a[n+1] + a[n])(a[n+1] - a[n]) = a[n] - a[n-1] ですが、
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任意の n について a[n+1] - a[n] > 0 であることが示せます...続きを読む

Qネズミの撃退法教えて下さい。

どうも自宅にネズミが住みついているようです。
押入れの布団が数箇所かじられていて、おしっこのにおいがついてしまいました。
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とりあえず昨日、ホームセンターでねずみ退治用の毒入り?固形えさを買ってきたのですが・・・。
通販などで、超音波でゴキブリ&ネズミを退治するグッズを見かけますが、効果はどうなのでしょうか?

Aベストアンサー

毒入りえさ(通称ネコいらず・・・古い!)と併用するグッズです。
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但し、大きくなったネズミには、ネズミ用のホイホイを使わないと駄目です。

Qa1=√2,a(n+1)=√(2+an)が単調増加数列になる事の証明です。

漸化式がa1=√2,a(n+1)=√(2+an)である数列が単調増加数列になる事の証明です。

a(n+1)-an=√(2+an)-an≧0
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何か上手い方法をお教え下さい。

Aベストアンサー

a(1)=√2
a(2)=√(2+√2) <√4 =2
a(3)<√(2+2)=2
a(4)<2
・・・・
結局、0<a(n)<2 となります(数学的帰納法で証明できる)

a(n+1)-a(n)=√(2+a(n))-a(n)={(2+a(n))-a(n)^2}/{√(2+a(n))+a(n)}
={-(a(n)-1/2)^2+9/4}/{√(2+a(n)) +a(n)}
0<a(n)<2なので、
-(a(n)-1/2)^2+9/4≧0
よって、
a(n+1)-a(n)≧0


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