数学問題

至急教えてください。

n^5−n^3＋4n=15120の解き方を教えてください。nはおそらく7だと思うのですが、どのようにして7という数字を出すのか分かりません。どうかよろしくお願いします。

元の問題は画像のものです。

質問者からの補足コメント

• 5つの連続する数字を(n-2)(n-1)n(n＋1)(n＋2)と置いたやり方で考えました。
  出来れば素因数分解でやっていくやつより、この自然数をnを使って表した方法で教えて欲しいです

    補足日時：2016/08/08 01:20

• 記述ではないんですけど、もしこれの答えが選択肢として無かったときに自力で答えが出せるようにしたいんです…。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/08/08 01:43

• 試験問題ではなく、課題で出されたものです。
  同じ問題を調べてみたら、選択肢がない状態の問題もありました。解き方を聞くのはおかしいですか…？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/08/08 02:19

No.7 回答者： isoworld 回答日時： 2016/08/08 20:34

n^5−n^3＋4n=15120　は間違っていませんか？　n^5−5n^3＋4n=15120でしょ。

これを因数分解すると　(n-2)(n-1)n(n＋1)(n＋2)=15120　となります。
そこで、中央値のnに目を付けると、n^5≒15120　だろうと見られます。そこで、もし自然数のnが存在すると仮定すれば、15120の５乗根にいちばん近い自然数ということになります。15120の5乗根は6.8534675…ですから、nは７かな、と当たりがつきます。検証のためにn=7で計算するとビンゴです。

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/08/08 14:36

この問題に限定していえば, 「連続した 5つの自然数の積」は「中央の数の 5乗」よりちょっと小さいので

15120 の 5乗根よりちょっと大きな整数
が候補に挙がる.

もちろんまじめに 15120 の 5乗根を計算するよりも「5乗したら 15120 よりちょっと大きくなる」ような整数を見つけるほうが簡単だが.

No.5 回答者： raizo-ichikawa 回答日時： 2016/08/08 08:33

皆さんの回答と重複しますが、

1.展開はn5-5n3+4n=15120な。
　5次の方程式は普通は解けない。

2.素因数分解すると
　2^4*3^3*5*7

　↑から
　1.連続した数には7が含まれるが、2*7の14は含まれない。
　　　14が含まれると11や13含まれなければならない。
　2.よって3*4*5*6*7～6*7*8*9*10の内のどれか
　　　
　　3*4*5*6*7は3*2*2*5*2*3*7で因数2,3が余る
　　4*5*6*7*8は因数2が不足、3が余る
　　5*6*7*8*9は条件に合致
　　6*7*8*9*10は2*3*7*2^3*3*3*2*5なので、因数2が足りない。

　後は5*6*7*8*9を計算し15120になることを確認でOK。

　こんな感じで良いと思う。

No.4 回答者： オバゴリラ 回答日時： 2016/08/08 02:53

錆びついた脳をフル回転させてみました。

この系統の問題は素因数分解で解くのが一番です。。なぜなら5次方程式には解の公式がないので計算するのがほぼ不可能だからです。(全く解けない訳ではないようですが。。。)同じ問題が過去にも取り上げられていましたが、やはり因数分解で計算してましたよ。

話は変わりますが、この問題別の方法で解いてみました。(面倒くさいんですが。。)
真ん中の数をnとすると5つの数は
n-2, n-1, n, n+1, n+2
この和を出すと5n
これを20から40に当てはめると
n=4〜n=8と見当がつく
これを
2*3*4*5*6=?
〜
〜
5*6*7*8*9=15120
6*7*8*9*10=?
と総当りで計算してn=7を見つけることもできる。

こんな解き方もあるんだなー位に思って下さい。頭を柔軟に!!です。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/08/08 02:48

方程式をたててもいいけど, 素因数分解するのとたいして変わらないよ.

n^5−n^3＋4n=15120
という方程式が整数解を持つとしたら, それは定数項である 15120 の約数でなければならない. で 15120 の約数を求めようとするときに素因数分解するのは, それほど不自然ではないよね.

あるいは, 「5つの数の和」がわかるのだからそこから「5つの数」を逆に求める方が早いかもしれん.

あと, 式の展開を間違えると正しい答が得られないというトラップにも注意.

No.2 回答者： ダニエット 回答日時： 2016/08/08 02:11

これは何の試験問題でしょうか？

私は数学の専門家ではないので
違ってたら申し訳ないですが
この問題は選択問題であることを前提として
作られたものなのではないかと思います。

No.1 回答者： ダニエット 回答日時： 2016/08/08 01:37

記述式問題ではないので

5つのパターンを計算してみる
だけじゃないのかな？