この問題の解き方教えて下さい！

この問題の解き方教えて下さい！

No.2 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/13 02:14

自分の考えでは、この式は（-3、-2）を中心とした半径１の円上を点Pがθの範囲で変化する時、

点Pと原点を結ぶ直線の傾きを表しているように思う。
このθの範囲内で傾きが最大になるのは、（θの範囲が限られているので）θが0の時で問題ないが、
傾きが最も緩やかになるのは、この円と直線が接する時である。
円と直線が接する時、円の中心から接点までの直線と接線は直角に交わる。
2本の直線が直角に交わるのをグラフ上で表す場合、片方の傾きがaならば、もう片方の傾きは-1/aである。
このことから、円の中心である（-3、-2）を通り、傾きが-（（cosθ-3）/（sinθ-2））である直線の式を求め、
その直線とｙ＝（（sinθ-2）/（cosθ-3））が交わる点の座標を求めることで、与式が最少となる時の大きさを求めることができる。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/01/13 00:11

直感的に過ぎるので、減点されるか零点かも知れませんが。

与式は、xy座標平面上で、点(cosθ,sinθ)と点(3,2)を結ぶ線分の傾きを表している。
ここで、0≦θ≦πを踏まえると、点(cosθ,sinθ)は、原点を中心とする半径1の円(単位円)の0≦yの部分を動く。
これを踏まえて、グラフを描いて、その2点の傾きを考えると、
　・最大になるのは、点(cosθ,sinθ)が点(1,0)に一致するとき(θ=0)で、傾きは1
　・最小になるのは、点(cosθ,sinθ)が点(0,1)に一致するとき(θ=π/2)で、傾きは1/3

よって、1/3 ≦ (sinθ-2)/(cosθ-3) ≦ 1

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一応、以下の2つの方法もやってみましたが、両方ともうまく行きそうになかったので。
・与式をf(θ)とおいて微分し、増減を考える。
・与式=kとおいて、sin^2θ+cos^2θ=1によってsinを消去し、そのcosの2次方程式が
　-1≦cosθ≦1をみたす解を少なくとも1つ持つためのkの範囲を求める。