垂線の引き方

中学の１年の数学で垂線の弾き方を勉強しています。

lという直線から少し上に点Pという点が表示されている図があります。

テキストには以下のようにあります。

①直線l上に点Aを適当にとる。
②点Aを中心とする半径PAの円を書く
③直線l上に点Bを適当にとる(点Pからみて反対側にとると良い)
④点Bを中心とする半径PBの円を書く
⑤円Aと円Bは点P以外にもう1点で交わっている。
⑥点Pと点Qを通る直線がlに垂直な線となる。


実際に、この通りに手を動かしてやると、確かに、lに垂直な線が出せるのですが、
理屈がわかりません。

特に理屈がわからない点は、③です。
③で点Bを適当にとっているのに、なぜlの垂線が出るのでしょうか？

No.7 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/20 18:18

簡単に言えば、直線lで点Pと線対称となる位置に点Qを取れば、PQがlに垂直になるからです。

なので、直線l上でさえあれば、たとえ点Aと点Bが同じ側にあっても、問題はありません。
作図する時に交点が分かりやすいように、点Bを点Aの逆側が望ましいだけですね。

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2017/01/20 17:53

No.5です。

変換ミス。

鏡面対象位置　→　鏡面対称位置

ですね。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2017/01/20 17:51

手順としては、直線Lに関して、点Pの鏡面対象位置を作図していることになります。

鏡面対象位置なら、その間の距離は最小になるので、つまりその２点を結んだ直線は直線Lに直角になります。

これを幾何学的に証明するには、いくつか方法がありますが、例えば：

△ABP と △ABQ とは合同です。
なぜなら、
・AB は共通
・AP=AQ
・BP=BQ
により、「３辺がそれぞれ等しい」からです。

ということは、PQ を通る直線と L との交点を R とすれば
　△APR と △AQR
とは合同になります。
なぜなら、
・AR は共通
・AP=AQ
・∠PAR = ∠QAR
により、「２辺とそのはさむ角がそれぞれ等しい」からです。
（△BPR と △BQR とについても同様です）

ということは
　∠ARP = ∠ARQ
であり、PQは直線であることから
　∠ARP = ∠ARQ = 直角
ということです。
（∠BRP と ∠BRQ とについても同様です）

この場合には、③は直線Lの両側に「合同な直角三角形のペアを２組作る」という作業をしているのです。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/20 17:41

下の図の上側。

青と赤の三角形は3辺が等しいから合同。
∴赤●の角度が等しい。

次にその下の図
赤●の角度が等しく、その角を挟む2辺も等しいから合同。
∴青●の角度が等しい。

青●の角度×2=180°　だから青●=90°

No.3 回答者： 銀鱗 回答日時： 2017/01/20 17:33

自分はそんな描き方よりも、1回多く円を描くことになるけど…

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2017/01/20 17:31

(´・ω・`)

二等辺三角形が見えませんか？

No.1 回答者： raizo-ichikawa 回答日時： 2017/01/20 16:46

半径だから、△APQも△BPQも二等辺三角形。

【定理】二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を 垂直にニ等分する。
よって直線ｌと直線PBは垂直に交わっているのだ。