極座標の運動方程式について質問です。 2次元極座標の動径方向と偏角方向の運動方程式、というか左辺の加

極座標の運動方程式について質問です。

2次元極座標の動径方向と偏角方向の運動方程式、というか左辺の加速度を求めるためには、x,y座標の力をr,θ方向の力へsinとcosを使って分解し、以下の紙の方程式になると思います。

そのとき左辺の加速度の項は意味が分かりずらく非常に覚えずらいですが、変形してやれば自分の直観と合い非常に分かりやすく、覚えるのも簡単です。
例えば、中心方向の運動方程式は、遠心力mrω^2がもともと+r方向の力として加わっており(という解釈は合っているでしょうか？)、その分+r方向の加速度が大きくなります。

偏角方向も、変形してやれば角運動量と力のモーメントの関係式となり明快です。


しかし、私は偏角方向でも加速度としての運動方程式として、意味の分かる運動方程式が知りたいです。

下の紙の①の方程式は、偏角方向の速度の時間微分と質量の積、つまり左辺が偏角方向の力となっている(と思っていますが、これも合っているでしょうか？)のですが、右辺の、加わっている力Ｆ_θ_から引いているm(dr/dt)(dθ/dt)の物理的な意味が分かりません。

動径方向の運動方程式のように、偏角方向の運動方程式の明確な意味を教えてください。
また、そもそもなぜ偏角方向の運動方程式を立てると角運動量と力のモーメントの関係式がでてくるのでしょうか？それも教えていただけるとありがたいです。

よろしくお願いします。

No.3 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/05/22 18:50

＞中心方向の運動方程式は、遠心力mrω^2がもともと+r方向の力として加わっており(という解釈は合っているでしょうか？)、その分+r方向の加速度が大きくなります

この解釈は、式を覚える上だけならばＯＫだと思います(^^)
しかし、物理的な意味づけとしては少しマズイですね(～～;)
遠心力は慣性力であり、非慣性系（回転系）で無いと現れません(^^;)
運動方程式は、もちろん極座標表示されたものも含めて、慣性系で成り立つものですから・・・(－＿－)

＞動径方向の運動方程式のように、偏角方向の運動方程式の明確な意味を教えてください。

これは少し無理があるような気がします(^^;)
何故なら、物体の運動はrとθに依存しており、特別な場合を除き、どちら一方を無視して考えるわけにはいかないからです(－＿－)
つまり、maθ（aθはθ方向の加速度）と書き直しても、現れる全ての項に物理的な意味づけができるとは限らないと言う事です。
では何故、偏角方向が、変形してやれば角運動量と力のモーメントの関係式となるのか・・・
θ方向の力は、力のモーメントをおよぼす力だからですね(^^)
このとき、LとNの中にはrとθが入り込んでいる（含まれている）事に注意して下さい。
つまり、rとθの依存性をキチンと取り込んでいる式だと言う事ですね。

もちろん、物理の式を見るときは、その物理的な意味を考える事は重要なのですが、
式の中に現れる全ての項について物理的な意味を考える事に必ず意味があるかというと、そうでもありません(^^A)
まだ勉強していないかも知れませんが、例えば、剛体の物理の所で「慣性乗積」という項が現れるのですが、
これについて、物理的な意味を考えても意味は無いです・・・計算の結果として出てくる物で、適当な座標変換では消えてしまいます・・・
・・・座標変換しただけで消えてしまう物に物理的な実態があるのか？って考えてみて下さい(^^;)

まあ、この場合は多少違うのでしょうが、①式の最後の項はrとθの依存関係を表しており、それが何らかの物理的な意味や物理量と必ず結び付いているわけではありません。
なんでしたら、①の左辺dr/dt・dθ/dt + r・d^2θ/dt^2 が、何で偏角方向の加速度なんだよぉ～と考えてみて下さい（dv_θ/dt の形に直さずに、その形のままで物理的な意味を考えて見るって事です)。
この２つの項を物理的な意味と結びつけるのは難しいと思いますよ(^^A)

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/22 09:15

No.1です。

式変形の前の前提条件として、直交座標と極座標の変換の式が必要でしたね。

Fr = Fx*cosθ + Fy*sinθ
Fθ = -Fx*sinθ + Fy*cosθ

基底ベクトルで書けば

er = ex*cosθ + ey*sinθ
eθ = -ex*sinθ + ey*cosθ

これから
　der/dt = ex*(-sinθ)*dθ/dt + ey*cosθ*dθ/dt = (dθ/dt)( -ex*sinθ + ey*cosθ ) = (dθ/dt)*eθ　　　①
　deθ/dt = ex*(-cosθ)*dθ/dt - ey*sinθ*dθ/dt = -(dθ/dt)( ex*cosθ + ey*sinθ ) = -(dθ/dt)*er　　　②
が得られます。

あとは、No.1の後ろの方の「aθ = 」の式についている「②」は消し忘れです。消去してください。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/22 01:29

座標変換の基本どおりにやってみましたか？

「変換」というよりも、極座標での「座標」「速度」「加速度」そのものです。

力が
　→F = (Fx, Fy) = (Fr, Fθ)
のとき、これは直交座標では ex, ey を基底ベクトルとして
　→F = Fx*ex + Fy*ey
ということです。
同様に、極座標では er, eθ を基底ベクトルとして
　→F = Fr*er + Fθ*eθ
ということです。

ここで、極座標での「速度」を考えると、vr = dr/dt, vθ=r*dθ/dt として
　→v = vr*er + vθ*eθ
と書けます。
これから「加速度」を求めてみると、
　dv/dt = (dvr/dt)*er + vr*(der/dt) + (dvθ/dt)*eθ + vθ*(deθ/dt)
ここで
　dvr/dt = d²r/dt²
　dvθ/dt = d(r*dθ/dt) /dt = (dr/dt)(dθ/dt) + r*d²θ/dt²
　der/dt = ex*(-sinθ)*dθ/dt + ey*cosθ*dθ/dt = (dθ/dt)( -ex*sinθ + ey*cosθ ) = (dθ/dt)*eθ　　　①
　deθ/dt = ex*(-cosθ)*dθ/dt - ey*sinθ*dθ/dt = -(dθ/dt)( ex*cosθ + ey*sinθ ) = -(dθ/dt)*er　　　②
より
　　dv/dt = (d²r/dt²)*er + (dr/dt)*(dθ/dt)*eθ + [(dr/dt)(dθ/dt) + r*d²θ/dt²]*eθ + (r*dθ/dt)*[-(dθ/dt)*er]
　　　　　= [ d²r/dt² - r*(dθ/dt)² ]*er + [ 2(dr/dt)(dθ/dt) + r*d²θ/dt² ]*eθ

これが、「加速度」における
　　→a = (ar, aθ) = ar*er + aθ*eθ
になるので、
　　ar = d²r/dt² - r*(dθ/dt)²
　　aθ = 2(dr/dt)(dθ/dt) + r*d²θ/dt²　　　②
ということになります。

これを使った運動方程式が、手書きの冒頭の運動方程式になるはずなのですが、θ 成分が違いますね。

下から2行目の式は合っています。
最下段の式は、上に書いたように
　dvθ/dt ≠ aθ
ですよ。基底ベクトル er, eθ 自体も時間とともに変化しているので、それも考慮しないといけないからです。①②がゼロではないことに注意してください。

途中で計算違いがあるかもしれませんので、ご自分でもトレースしてみてください。