lim[θ→0]θ/tanθ=1の証明が分かりません。 回答の程宜しくお願い致します。

lim[θ→0]θ/tanθ=1の証明が分かりません。
回答の程宜しくお願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： think2nd 回答日時： 2017/06/04 12:33

いろいろな考え方で、解いてみます。

(ちょっと無理があるかも?)
　基礎知識は　・中間値の定理
　　　　　　　・tanΘが連続で(tanΘ)'=1/(CosΘ)^2　となること。かな。

　lim[θ→0]θ/tanθ　において、θ→0の状態でΘ≠0だから分母分子をΘで割って
　lim[θ→0]θ/tanθ=lim[θ→0]1/(tanθ/Θ)　の繁分数にすると分子は常に1だから分母の(tanΘ)/Θ　に注目して
　分母:　lim[θ→0]tanθ/Θ　を解くf(Θ)=tanΘとする。f(Θ)は連続で0近傍で微分可能
　　　中間値の定理より
　　　　　　　　　　(f(Θ)-f(0))/(Θ-0)　とすれば(f(Θ)-f(0))/(Θ-0)=f'(α)となるαが存在する。(ただし0<α<Θ)
この状態でθ→0とするからα→0となるのでlim[θ→0]tanθ/Θ=lim[θ→0](f(Θ)-f(0))/(Θ-0)
　　　　　　　　　　　　=lim[θ→0]f'(α)=lim[α→0]f'(α)=lim[α→0]{1/(Cosα)^2}=1
よって分母も1だからlim[θ→0]θ/tanθ=1が言える。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございました！

お礼日時：2017/06/15 23:01

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/06/03 17:28

ロピタルの定理を使ってよいなら

分子のθでの微分は 1
分母のθでの微分は 1/(cosθ)^2

従ってロピタルの定理からθ→0 での極限値は 1

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございました

お礼日時：2017/06/15 23:01

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/03 16:41

扇形を使った証明が色々な参考書に載ってるので、ここでは別の方法で。

①lim(θ→0)(sinθ/θ)=1を使うから、先ずはこれを証明。

(sinθ)′=cosθである事が既知とした前提で。

微分を定義の形に戻して，θ に 0 を代入する。
lim(t→0) {sin(θ+t)}/(θ+t) = cosθ ・・・・微分の定義式

このθ に0を代入するとlim(t→0) {sin(t)}/t = cos0=1

②本題
tanθ=sinθ/cosθだから

lim[θ→0] θ/tanθ=lim[θ→0] (θ/sinθ)･cosθ＝

lim[θ→0] {1/(sinθ/θ)}･cosθ=(1/1)･cos0=1･1=1

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございました！

お礼日時：2017/06/15 23:01