a.bが定数で任意のε>0に対してa<b+εならばa≦b
という問題で、背理法を使ってε=(a−b)/2となるεを取っているのですが、そもそもεはa-bより大きい値だと書いてあるのに、a-bより小さい(a-b)/2を取っていいんですか?

a-bより大きい値で取った時に、矛盾することを示さないとダメじゃないですか?

なにか変な感じがするので教えて下さい❗️

質問者からの補足コメント

A 回答 (4件)

>>任意のε>0に対してa<b+εならばa≦b


って、そもそも、どこか問題を間違えてない?

a=11,b=2, εは任意だからε=10とすると
a<b+εは、11<2+10となり、前提は成立する。
結論のa≦bは11≦2 ?
成立しない
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この回答へのお礼

ありがとうございました、
これは、ネットで見た問題なので、ちゃんとした問題をまたあげようと思います。

お礼日時:2017/06/14 07:30

>>a<b+εならばa≦b


これの証明法が間違っている。
あなたの言う通りで、「a<b+εならばa>b」とすると矛盾する
「だから、a<b+εならばa≦b」と言わないといけない。

命題が完全に間違っている。
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背理法を用いるとするならば、


「任意のε>0に対してa<b+εならばa>b」と仮定し、矛盾を示すこととなる。
a>bであることから、a-b>0であり、(a−b)/2>0である。
従って、任意(数学では全てのを意味する)のε>0に対してとあるので、
ε=(a−b)/2>0を用いてb+εを計算してみると、
b+ε=b+(a−b)/2=(a+b)/2<(a+a)/2(∵a>b)=aとなり、
b+ε<aとなってしまう。
これは、任意のε>0に対してa<b+εに矛盾してしまう。
何故矛盾したかというと、a>bを仮定したからという流れになるかと思います。
如何でしょうか。
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「任意のε>0に対してa<b+εならばa>bと仮定する」


を否定したい訳ですよね?

a<b+εとはならないεにしたい訳です。

a<b+ε だからa-b<ε

なのでa-b<εとならない様なεにしたい。
つまりεがa-bより小さい値なら何でも良いわけです。

だからε=(a-b)/2にすれば解り易いから(a-b)/2にしてるだけです。

ε=(a-b)/3、(a-b)/4、(a-b)/5、(a-b)-2でも何でも構いません。
εが(a-b)より小さければ何でもいいんですよ。
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