背理法での証明について 疑問に思ったので質問します。 元の命題をAとする。 命題Aの結論を否定したも

背理法での証明について

疑問に思ったので質問します。

元の命題をAとする。
命題Aの結論を否定したものを、命題Bとする。
命題Bの矛盾を導いて、命題Bは間違いである。
したがって命題Aは真である。

命題Bは合ってないことはわかるのですが、なぜ命題Aが正しいと言えるのでしょうか。
なぜ、Bで矛盾が生じる=Aが正しい、と言えるのでしょうか。

ご教示よろしくお願いします。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2017/10/25 18:57

「命題Aの結論を否定したものを、命題Bとする。

」こういう言い方をするとおかしくなります。

「元の命題をＡならば、Ｂである。」が問題であるとすると、
「Ｂでないならば、Ａではない。」と云う事を証明するのです。

この「Ｂでないならば、Ａではない。」と云う考えを、
元の命題「Ａならば、Ｂである。」の「対偶」と云い、
命題が「真」ならば対偶も「真」であると云う定理があります。

「命題Bの矛盾を導いて」も、それが「命題Aは真である」事にはなりません。

一つの命題に対する、「裏」・「逆」・「対偶」を勉強して下さい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

命題の対偶利用については理解しています。
私が問いたいのはなぜ背理法が成り立つのかですか。

お礼日時：2017/10/26 19:27

No.2 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2017/10/25 20:59

背理法をきちんと理解していないようですね。

こういうことです。


元の命題をA：「PはQではない」とする。
命題Aの結論を否定したものを、命題B：「PはQである」とする。
命題Bの矛盾を導いて、命題Bは間違いであることを示す。

ここで、論理的必然として、「PはQである」か「PはQではない」の一方が、かつ、その一方だけが成り立つが、今、「PはQである」（←命題B）が
間違いであることが示されたので、必然的に（自動的に）、残った「PはQではない」（←命題A）が成り立つしかない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

命題とは真偽の二択だけであり、消去法で必然的に間違いでない方が選ばれる、ということですね。

自分の中でしっくりきた感じがします。ありがとうございました。

お礼日時：2017/10/26 19:41

No.3 回答者： kmee 回答日時： 2017/10/25 22:53

(1)命題Aは真か偽のどちらかである。

(2)命題Bの真偽は、Aとは逆になる。
(3) Bが偽であることが証明された → Aは真である

という流れです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

それぞれの命題は裏表一体ということでしょうか。感覚がつかめた気がします。ありがとうございます。

お礼日時：2017/10/26 19:34

No.4 回答者： rinkun 回答日時： 2017/10/26 09:31

通常の命題論理では A or not Aは恒真(常に正しい)だからです。

だからnot Aが偽であることからAが真であることが導かれます。
直観論理など別の論理体系では背理法は使えない場合があります。