ドモルガンの法則、対偶、三段論法

ド・モルガンの法則
対偶
三段論法

を日本語で分かりやすく教えてください

なぜ

Ａが好きな人はＢとＣが好きである
↓
ＢかＣが好きでない人はＡが好きでない

となるのか教えてください

No.3 ベストアンサー 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/08/28 09:01

　具体的な例としては、

命題>Ａが好きな人はＢとＣが好きである
>↓
対偶>ＢかＣが好きでない人はＡが好きでない

というものですね。

　一つずつやってみましょう。

　まず、対偶だけを考えるため、命題を単純化してみます。少しはっきりさせても見ます。

命題：Ａが好きな人は、必ずＢが好きな人である。

　この命題が正しいとします。

　もし、ある人がＡが好きだが、Ｂが好きでないとします。すると、その人については「Ａが好きな人で、Ｂが好きでない」例だということになります。すると、上の命題は正しくないという証明になります。

　これを反例といって、一つでも見つかれば、「必ず～である」という命題を否定する証明になります（「一部は～である」ですと否定の証明をしたことにはなりません）。

　もう少し考えてみると、「Ｂが好きな人」の一部が「Ａが好きな人」ということが分かります。全部でもいいですけど、「Ａが好きな人」全員を集めたとき、「Ｂが好きな人」以外の人、つまり「Ｂが好きでない人」がいてはなりません。

　もしいたら、「Ａが好きな人で、Ｂが好きでない人」がいることになってしまいます。それでは、命題を正しいとしたことに反します。

　すると、「Ｂが好きな人」を全員除いて考えると「Ｂが好きでない人」だけになり、すると「Ｂが好きな人」の一部であった「Ａが好きな人」もいなくなって、「Ａが好きでない人」だけになります。ですので、

対偶：Ｂが好きでない人は、必ずＡが好きでない人である。

が正しいとなります。

　なお、命題が「ＡならばＢである」だと、対偶は、「Ｂでないなら、Ａでない」です。上では、対偶：「Ｂが好きな人でないなら、必ずＡが好きな人でない。」を、お示しの文に近づけるようにしてみました。

命題：Ａが好きな人は、必ずＢが好きである。

　逆に、この命題が正しくないとします。つまり、「Ａが好きな人で、Ｂが好きでない人が（少なくとも一人）いる。」ということになります。たった一人でもいいので、そういう人がいるということですね。一人もいなければ命題が正しいことになりますから。

　じゃあ、「Ｂが好きでない人」が、必ず「Ａが好きでない」のかどうかですね。これは、たった一人でも「Ａが好きで、Ｂが好きでない人」（＝「Ｂが好きでなくて、Ａが好きな人」）がいることに反します。つまり、そういう人が、

対偶：Ｂが好きでない人は、必ずＡが好きでない。

に対する反例であることになります。「Ｂが好きでない人」全員を集めたら、その中に少なくとも一人は「Ａが好き」なわけですから。

　そういうわけですので、

命題：Ａが好きな人は、必ずＢが好きである。
対偶：Ｂが好きでない人は、必ずＡが好きでない。

の二つは真偽（正しい・間違い）が必ず同じになります。命題が正しいときには、必ず対偶も正しく、命題が間違いのときには、必ず対偶も間違いになります（対偶から出発しても同様なので省略します）。

>Ａが好きな人はＢとＣが好きである

命題：Ａが好きな人は、必ずＢとＣの両方が好きな人である。

　こう書き換えておきますね。上記から増えたのが、「Ｂが好きである」から「ＢとＣの両方が好きである」ということですね。

　すると、「『ＢとＣの両方が好きである』のではない人」が、どういう人なのかということですね。

「Ｂが好きでなくてＣが好きな人」は当てはまります。「Ｂが好きでＣが好きでない人」は当てはまります。さらに、「Ｂが好きでなくてＣも好きでない人」も当てはまります。

　それが、「ＢかＣが好きでない人」です。普通の日本語では、「ＢかＣか、どちらかだけ好きでない人」という意味で言うことも多いですが、論理学ですと、どちらも好きでない人も含めます。

「『ＢとＣの両方が好きである』のではない人」は、「ＢかＣが好きでない人」となるわけです。

　これを少し抽象的にすると、「『ＢかつＣである』のではない」、「ＢまたはＣでない」（「ＢかＣでない」でも可）になります。

　そこで、上でご説明しました「Ｂが好きでない人」を「ＢかＣが好きでない人」に置き換えると、お示しの、

命題>Ａが好きな人はＢとＣが好きである
>↓
対偶>ＢかＣが好きでない人はＡが好きでない

が出てきます。

P.S.

　お示しの文章には、「ＡならばＢである。ＢならばＣである。よって、ＡならばＣである」といった三段論法の具体的な例がないので、とりあえず省略します。

　もし、三段論法で分かりにくいと思われたものを示して頂ければ、何かお手伝いできるかもしれません。

　とりあえず、具体的で分かりやすい例をいくつか試して、それらが飲みこめたところで、それをどういう場合にでも通用するような抽象的な説明の理解に進まれると、回り道のようでいて、実は近道になるかと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時：2012/08/31 20:54

No.2 回答者： genshisyounen 回答日時： 2012/08/27 23:12

厳密さに欠ける箇所があったので、前半部を訂正します。

「嫌い」と書いてある箇所は「好きでない」に、「存在する」と書いた箇所は一部「存在する可能性がある」に訂正します。

・「Ａが好きな人はＢとＣが好きである」
　「Aが好き」な人は、必ず「BとCが好き」ということを意味します。
　「Aが好き」なのに、「BとCが好きでない」という人は存在しないということです。
　一方、「Aが好きでない」人には、「BとCが好き」な人も「BとCが好きでない」人も両方存在する可能性があります。
　「好き」を〇、「好きでない」を×として、整理しますと
　　　A　　BとC
　　　〇　 〇
　　　×　 〇
　　　×　 ×
　の３種類のタイプの人が存在する可能性があることがわかります。
　この表を見ればわかると思いますが、「BとCが好きでない」人は、必ず「Aが好きでない」人になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時：2012/08/31 20:55

No.1 回答者： genshisyounen 回答日時： 2012/08/27 22:26

「なぜ」以降の部分について、先に説明します。

・「Ａが好きな人はＢとＣが好きである」
　「Aが好き」な人は、必ず「BとCが好き」ということを意味します。
　「Aが好き」なのに、「BとCが嫌い」という人は存在しないということです。
　一方、「Aが嫌い」な人には、「BとCが好き」な人も「BとCが嫌い」な人も両方存在します。
　「好き」を〇、「嫌い」を×として、整理しますと
　　　A　　BとC
　　　〇　　〇
　　　×　 〇
　　　×　 ×
　の３種類のタイプの人が存在することがわかります。
　この表を見ればわかると思いますが、「BとCが嫌い」な人は、必ず「Aが嫌い」な人になります。

・　ド・モルガンの法則
　　A、Bという２つの命題が存在する場合、「AかつB」の否定は、「Aの否定」と「Bの否定」の和になり、「AまたはB」の否定は、「Aの否定」と「Bの否定」の積になると言うものです。言葉だけではわかりにくいので、ベン図に書いて考えた方が良いと思います。
・　対偶
　質問例が、まさに対偶の例に当たります。
　「AならばB」という条件が当てはまる場合は、必ず「BでなければAではない」という命題が当てはまることを言います。
・　三段論法
　「AならばB」で、かつ「BならばC」であれば、「AならばC」であることを言います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました

お礼日時：2012/08/31 20:55