命題と証明

命題：ax+by=0 に解 (x,y)　（x, y<0）が存在するなら、 ab<0である

証明：この命題は真のように思えるのですが、
対偶法をとると、「ab>=0であるとき、式ax+by=0 に解 (x, y)　（x, y <0）が存在しない」を証明することとなり、
「a=0, b=0 のとき式ax+by=0 に解 (x, y)　（x, y <0）が存在する」となってしまいます。
（a=0, b=0のときx, yが何であろうと式の答えは０になるため…）

この命題は偽なのでしょうか？
もし偽でしたら、命題自体に対する反例を教えてください。もし真でしたら、正しい証明法を教えてください。
よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/05/26 20:55

元の命題は偽です。

ax+by=0 に解 (x,y)　（x, y<0）が存在する場合でもa=b=0はありえますので元の命題は偽です。

この回答へのお礼

その可能性は考えられていなかったです。お答えいただきありがとうございます！

お礼日時：2016/05/26 21:56