教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

nが自然数のとき、2^n +1 +3^2n−1 は7で割切れることを証明せよ。
という問題を合同式を使った形で教えてください!!!

gooドクター

A 回答 (7件)

a≡b のとき、a^k≡b^k を利用します。



2^(n+1) + 3^(2n-1)
≡2^(n-1+2) + 3^(2n-2+1)
≡2^(n-1)・2^2 + 3^{2(n-1)}・3^1
≡2^(n-1)・4 + (3^2) ^(n-1)・3
≡4・2^(n-1) +3・9^(n-1)
≡4・2^(n-1) +3・2^(n-1)
≡(4+3)・2^(n-1)
≡7・2^(n-1)
≡0 (mod 7)
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式に = を混在させたことが不適切だったので、訂正します。


2^(n+1) + 3^(2n-1) ≡ (2^n)・2 + (9^n)/3
         ≡ (2^n)・2 + (2^n)/3
         ≡ (2^n)( 2 + 1/3 )
         ≡ (2^n)( 7/3 )
         ≡ (2^n)( 0/3 )
         ≡ 0.      (mod 7)
法 7 が素数なので、合同式内で割り算をしても ok です。

有限体を持ち出さずに、剰余環だけで話したければ、
2^(n+1) + 3^(2n-1) ≡ (2^n)・2 + (9^(n-1))・3
         ≡ (2^n)・2 + (2^(n-1)・3
         ≡ (2^(n-1))( 2・2 + 3 )
         ≡ (2^(n-1))・7
         ≡ 0.      (mod 7)
でもいいですね。 私は、上のほうが直感的だと思うけど。
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皆さん、合同式を使わないんですね。

まあ自分も指示がなければ
数学的帰納法で解くと思いますが。

で、合同式を使った形ですが、すべて書いたら質問者様のためにならないので。

ひとまずn=1~5くらいまで代入したらどんな数字が出るかやってみたら?
ヒントとしては、2^(n +1)と+3^(2n−1)を分けて考えてみる。
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2^(n+1) + 3^(2n-1) = (2^n)・2 + (9^n)/3


         ≡ (2^n)・2 + (2^n)/3
         = (2^n)( 2 + 1/3 )
         = (2^n)( 7/3 )
         ≡ (2^n)( 0/3 )
         = 0.
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2^(n + 1) + 3^(2n - 1)


と書きたいんだろうなあ。
でも、そうは読めないよ。
そこが、まず「質問が成立していない」ということ。

もし上のようなことなら、
 n=1 のとき
  2^2 + 3^1 = 4 + 3 = 7
 n=2 のとき
  2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35
で成立しそうだね。

これは「数学的帰納法」がよさそう。
n=1 のとき、上のように命題は成立する。
n = k (k ≧ 2) のとき命題が成立すると仮定すれば、p を自然数として
 2^(k + 1) + 3^(2k - 1) = 7p   ①
と書ける。
n = k+1 に対して
 2^(k + 2) + 3^(2k + 2 - 1)
= 2・2^(k + 1) + 9・3^(2k - 1)   ②
①より
 2^(k + 1) = 7p - 3^(2k - 1)
として②に代入すれば
 ②= 2[7p - 3^(2k - 1)] + 9・3^(2k - 1)
  = 14p + 7・2^(k + 1)
  = 7[2p + 2^(k + 1)]
従って②は7の倍数であり、従って n=k+1 に対しても命題は成立する。

以上のように、n=1 のとき成立し、n = k (k ≧ 2) のとき成立すると仮定すれば n=k+1 に対しても成立するので、任意の自然数 n に対して成立する。
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正確に書いてくれ。


演算の順番法則からすると、2ⁿ+1+3²ⁿ-1となる。
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まず与式の整数項を整理すると 2^n+3^2n となりますが、


n=1 のとき 2^1+3^2=2+9=11 であって 7 で割り切れないので
この問題は不可能です。
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