論理学→命題と対偶

命題と対偶の問題で困っています。答えは(4)なんですが、(2)が答えでないという説明が出来ません・・・。わかる方教えてください。よろしくお願いします。
問題．「明日、雨でなければ、野球をする」が正しいとき、次のどれがかならず正しいですか？
(1)明日、雨であれば、野球をする
(2)明日、野球をするならば、雨でない
(3)明日、雨でなければ、野球をしない
(4)明日、野球をしなければ、雨である
(5)明日、野球をしなければ、雨でない

No.7 回答者： zenin 回答日時： 2011/10/22 11:45

．「明日、雨でなければ、野球をする」が正しいとき

雨であって野球をしても何も．「明日、雨でなければ、野球をする」に違反していません。
雨でなければ、と言うのは何も雨でないときだけ野球をするということではありません。
雨であって野球をしたとすると（2）の前提「野球をする」は成り立ち、雨でないという事はなりたっていません。
従って「 雨であって野球をする」は（2）の反例になります。

No.6 回答者： tacoya-king 回答日時： 2004/09/22 20:47

（ルール）

命題が真（正しい）ならば、対偶は真だよ。
【命題】Ａならば、Ｂである。
　【逆】Ｂならば、Ａである。
【対偶】Ｂでないならば、Ａでない。
　【裏】Ａでないならば、Ｂでない。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
つまり、
命題と対偶は、ＡとＢの順序を【逆】にして、
どっちも否定（反対・裏）にすればいいのです。

【命題】Ａならば、Ｂである。
明日、雨でなければ、野球をする。
Ａ：「雨でない」Ｂ：「野球をする」
「雨でない」→ならば→「野球をする」

逆にすると…
【逆】Ｂならば、Ａである。
「野球をする」→ならば→「雨でない」
野球をするならば、雨でない。（選択肢２）

【対偶】は【逆】のＡとＢをどちらも否定の形にする。

【逆】Ｂ→ならば→Ａである
【対偶】Ｂでない→ならば→Ａでない
Ａ：「雨でない」⇔Ａの否定（反対）：「雨である」　
Ｂ：「野球をする」⇔Ｂの否定（反対）：「野球をしない」
つまり、
「野球をしない」→ならば→「雨である。」（選択肢４）

【対偶】明日、野球をしないならば、雨である。
明日、野球をしなければ、雨である。（正解４番）

ちなみに、
【裏】明日、雨であれば、野球をしない。
選択肢の（１）（３）（５）は
逆でも裏でも対偶でもありませんので消去。（問題外）

No.5 回答者： hpsk 回答日時： 2004/09/22 20:18

日本語の日常会話で、

「雨でなければ野球をする」といえば、
「雨が降れば野球はしない」
ということも暗に含んでいることが多いので、(2)も正解？ という錯覚を覚えるのかもしれません。

論理の世界では、「PならばQ」(*)といっても「PでなければQでない」(**)という意味は含んでないので、注意が必要です。
ちなみに、(*)と(**)は「裏」の関係にあると言いますね。

No.4 回答者： hinebot 回答日時： 2004/09/22 20:03

命題　Ｐ⇒Ｑ　に対し、その対偶は　Ｑでない⇒Ｐでない　です。

命題が真ならば、対偶は真です。
言えるのはこれだけです。

「明日、雨でなければ、野球をする」が正しいについて考えると
Ｐ＝雨でない　Ｑ＝野球をする
として、Ｐ⇒Ｑ　が真　ということです。（"明日"は説明上省きます）
対偶は　Ｑでない⇒Ｐでない　ですから
Ｐでない　＝「雨でない」でない＝雨である
Ｑでない　＝野球をしない
となり、「Ｑでない⇒Ｐでない」を文章に直すと(4)の
「野球をしなければ、雨である」となります。

Ｐ＝雨でない　Ｑ＝野球をする
として他を考えてみましょう。
(3)は「Ｐ⇒Ｑでない」となり、「Ｐ⇒Ｑ」が真なので、明らかに偽です。
(5)は「Ｑでない⇒Ｐ」となり、「Ｐ⇒Ｑ」の対偶「Ｑでない⇒Ｐでない」が真であることより、偽です。

(1)と(2)は真とも偽とも言えません。
(1)を偽とすれば、(2)は真になり、
(1)を真とすれば、(2)は偽になります。
つまり、正しい場合もあるし、正しくない場合もあるので、「"かならず"正しい」とは言えません。どっちもあり得るということですね。

No.3 回答者： noname#8027 回答日時： 2004/09/22 19:45

すいません、「野球をすれば、雨が降らない」のまちがいでした。

No.2 回答者： noname#8027 回答日時： 2004/09/22 19:44

ついでに・・・。

「ＡならばＢ」が元の命題だとすると、
「ＢならばＡ」が逆
「Ａでなければ、Ｂでない」が裏
「Ｂでなければ、Ａでない」が対偶

ですが、元が真の時、必ず真なのは、対偶だけです。
「逆は必ずしも真ならず」の例ですね。

参考までに、よくあるクイズですが、
質問の例になぞらえると、
「明日、雨が降れば野球はしない」が真だとすると、対偶は、「明日、野球をすれば雨が降る」となるがこれは、必ずしも真でないと思われる。どこが、おかしいか？
というものがあります。もちろん、対偶の作り方にまちがいがあります。さらなる理解のために考えてみてください。(*^^*)

No.1 回答者： noname#8027 回答日時： 2004/09/22 19:33

「雨でなければ、野球をする」、と言っているだけで、雨が降った場合には、しないとも、するとも言っていないからです。

したがって、（２）は、野球をしていても、雨が降っている場合があります。