二乗平均が平均の二乗より常に大きいのはなんでですか？

二乗平均が平均の二乗より常に大きいのはなんでですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： Zincer 回答日時： 2017/12/22 20:00

ここに証明があるみたいです。

http://www.watto.nagoya/entry/2016/05/28/213000

この回答へのお礼

これは分かるんですが、直感的な説明が聞きたかったです

お礼日時：2017/12/22 22:53

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/12/22 22:55

二乗平均って

　(1/N)ΣXi^2
でしょうか。（i=1～N）

それでは、まず「平均値」と「分散」を計算するところから始めましょう。
平均値は
　μ = (1/N)ΣXi
分散は
　σ^2 = (1/N)Σ(Xi - μ)^2
です。「偏差の2乗の平均値」ですから、当然
　σ^2 ≧ 0
です。

分散を展開すれば

σ^2 = (1/N)Σ(Xi - μ)^2
= (1/N)Σ(Xi^2 - 2μXi + μ^2)
= (1/N)ΣXi^2 - 2(1/N)ΣμXi + (1/N)Σμ^2
= (1/N)ΣXi^2 - (2μ/N)ΣXi + (1/N)*Nμ^2　←第2項目は定数μを外にくくり出した。 第3項目は同じ値をN回加算。
= (1/N)ΣXi^2 - (2μ/N)ΣXi + μ^2

ここで
　(1/N)ΣXi = μ
なので、
σ^2
= (1/N)ΣXi^2 - 2μ^2 + μ^2
= (1/N)ΣXi^2 - μ^2

上に書いたように σ^2 ≧ 0 なので
　(1/N)ΣXi^2 - μ^2 ≧ 0
つまり
　(1/N)ΣXi^2 ≧ μ^2
これは「2乗の平均は、常に平均の2乗よりも大きい」ということです。