
No.11ベストアンサー
- 回答日時:
#10です。
> C,E,P,Fは同一円の円周上の点でした(円周角の定理の逆)
∠ECP=∠EFP ですからC,E,P,Fの4点は同一円の円周上にあります。
円周角の性質として
https://ja.wikibooks.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%AD%A6 …
の下の方にある「円周角の定理の逆」の項にこの説明があります。
> が②の円周角の2倍だから、Cが円の中心で有ると言う論法は乱暴だと思います。
> 下図の通り、2倍=中心点という保証が有りません。
小生②の前半ではCを使っていません。円の中心として定義したQを使っています。
その後QとCが重なることを証明したつもりなのですが・・・
要点を書くと・・・
step1 G、B、Fの3点を通る円の中心をQとします。
∠BGFはこの円の円周角であり、角度は40゚です。
ならばこの円の中心角 ∠BQFの角度は 80゚ です。(ここまでCは使っていません)
step2 つまりこの円の中心はB、Fから等距離にあって、80゚の角度を成す点です。
この2つの条件を満たす点はCと、CをBFで折り返した点の2箇所となります。
しかしGとの距離を考えれば後者は不適なので QはCと同一点になります。
<step2の別な証明 △BQF と △BCF の合同から導く >
G、B、Fの3点を通る円の中心をQと決めたので BQ=FQ であり、△BQFは二等辺三角形です。
上のstep1より ∠BQF=80゚ ですから2つの底角は共に50゚です。
次に△BCFで、#10の解の①より ∠CBF=∠CFB=50゚ ですから ∠BCF=80゚になります。
この2つの三角形において、辺BFは共通であり、対応する3つの角はすべて等しいので両者は合同です。
すなわちQはCと重なるか、BFに対してCの対称点となりますが後者は不適です。
因ってQとCは同一点です。
如何でしょう? 気になるところがあればご指摘ください。
C,E,P,Fは同一円の円周上の点でした(円周角の定理の逆)
→これは書いてから直ぐに気がつきました。失礼しました。
△BCFが2等辺3角形になるんですね。
(弧ECの円周角が20°だからF=30+20=50°)
後は全てOKです。
これなら中学生が解ける図形問題として納得です。
もう少し別回答を待ってからBAにします。
No.10
- 回答日時:
図形問題の範囲で解いてみました。
△ABCをBCの下側に折り返す。図のように下の端を新たにPとする。
これでラングレーの整角四角形になります。旧A点は使いません。
△DBPをDPの右側に折り返す。Bの対応点をEとする。
BPとDEの延長線の交点をFとする。
BDを右に20゚回転し(青の点線)、DEとの交点をGとする。
※ 最終的に △GBC が正三角形であることと GD=GC を使う。
(添付図には問題で与えられた角度から簡単にわかる角度だけ記した。)
① CB=CFの証明(そのために△CBFが二等辺三角形であることを証明する)
EPを共通弧とすれば ∠EFP=∠ECP なので C、E、P、Fの4点は同一円周上にある。
CEを共通弧と見て ∠CPE=∠CFE=20゚ 因って∠CFB=50゚ となる。
この値は ∠CBF と等しい。
したがって△CBFは二等辺三角形となるから CB=CF である。
② △GBCが正三角形であることの証明
G、B、Fの3点は同一円周上にある。この円の中心はCになるのだが、以下はその証明。
この円の中心をQとすると QB=QF である。
弧BFから見ると ∠BGF=40゚ は円周角であるからその中心角は ∠BQF=80゚ である。
この2つの条件を満たす点はCと、CをBFで折り返した時の対称点の2つとなる。しかしGとの距離を考えれば前者が適する。
すなわちG、B、Fの3点を通る円の中心はCである。
∠GFB=30゚ なので ∠GCB=60゚ である(弧GBに対する円周角と中心角)。また ∠GBC=60゚ だから △GBC は正三角形であることがわかる。
③ ∠GDCを求める
∠DBG=20゚、∠BDG=20゚ なので △GDB は二等辺三角形。因って GD=GB 。
②より △GBC は正三角形なので GD=GC となり、△DGC は二等辺三角形とわかる。
また ∠BGC=60゚ より ∠DGC=160゚ とわかる。
因って ∠GDC=10゚ が求まり X=20゚ となる。
この解き方は http://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/framepage1.h … の下の方にある192番を参考にしました。とは言っても説明は3行しかなく解釈には四苦八苦。
とんだ難問でしたね。BやGに円を作る方法もやってみましたが途中で進めなくなりました。

回答感謝します。
>>∠BGF=40゚ は円周角であるからその中心角は ∠BQF=80゚ である。
⇒これは、∠BCF=80゚である事が言えないと成立しません。
(弧BFに対する円周角が40°だから)
P,E,C,Fが小さな円の円周上の点で有れば、弧PFの円周角が50°なので、
∠PCF=50°。
∴∠BCF=30+50=80。
P,E,C,Fが同一円の円周上の点である事の根拠が乏しいと思います。

No.8
- 回答日時:
私は tan()の計算で求めてみました。
単純な計算ですが、手数がかかります。
関数電卓なら数秒でOKなのですが。
一応図にしました。
ポイントは同じラインに比較する角を並べることかと思います。
後は外接円、円周角で求めたつもりですが、図の通り条件があります。
複雑にならぬよう気を付けたつもりです、ご検討下さい。

この問題に何回か回答されてますね。
下の回答図では点Fが円周上の点である事の根拠が無くて?でしたが
今回の回答は合ってます。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10198438.html
対辺へ垂線を下ろした点同士を結ぶと、元の3角形と相似になり、形が左右反対になる、・・気が付きずらい性質でした。
tan30°・tan80°=tan50°・tan70°なのでC=70°もOKです。
本当にこの問題は中学生向けなのでしょうか・・。
No.7
- 回答日時:
できました。
またこれまでとは全く別の方法になります。
次の回答で解説します。
Mollsuar様 感謝します。
が、三角関数や9点円の組み合わせ以外のエレガントな解法を、20年かかっても見つけられない人もいる位の難問なので、深入りしない様にお願いします。
それにしても難しいですネ~。
もう、止めませんか??
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下図を正弦定理に当てはめると、2/sina=3/sinb
∴2sinb=3sina
a:b=2:3と言う主張によりa=60°、b=90°を当てはめると
2sinb=2sin90°=2
3sina=3sin60°=(3√3)/2
=にはなりませんね。
ども。
>>同一円であれば、弧の長さ等しい時、角度も等しい。
これは正しいです。
その結論に至る前段階の
No.3様の「弦の比率は、弧の比率に等しい」と言う主張に対して、そう言う事は有りません、と言う返事をしました。
下図の通り、弦の比が1:1でも、弧の比は1:1とは言えませんから・・。
この問題は、相当な難問です。
C,E,P,Fは同一円の円周上の点でした(円周角の定理の逆)
が②の円周角の2倍だから、Cが円の中心で有ると言う論法は乱暴だと思います。
下図の通り、2倍=中心点という保証が有りません。
今までの中で一番エレガントな解法でした。