土地家屋調査士の勉強してます。
座標計算で、1秒でも早く解きたいのですが、
A(a,b)、B(c,d)の2点から、ある一定の距離にある点、つまりAから距離e、Bから距離fの関係にある点を求める公式みたいのはありますでしょうか。
関数電卓の持ち込みが可能です。

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A 回答 (4件)

公式ではありませんが手早くできそうな手順を。


方針としては平行移動と回転を使って線分ABを中点が原点に重なるようにx軸上に移し、
移った点A',B'からの距離がe,fとなる点P',Q'を見つけ、
最初に線分ABを線分A'B'に移したのと逆の手順で点P,Qの座標を求めると言うものです。

まず平行移動です。これは各点から((a+c)/2, (b+d)/2)を差し引いてやる事で出来ます。
この段階では実際にはなにも計算しません。最後で使います。

次に原点周りの回転を使って線分ABをx軸上に乗せてやります。
それには線分ABとx軸のなす角度αを求めます。tanα = (d-b)/(c-a)なので、
    α = Arctan((d-b)/(c-a))     …(1)
で求まります。

中点が原点に移動した線分ABに対し、原点中心、角度-αの回転をすることによりA'(-g,0),B'(g,0)に移ったとします。
このgを求める式は
    g = ((c-a)cosα + (d-b)sinα)/2    …(2)
です。

点A'からの距離がe、点B'からの距離がfである点のうちy座標が正の点をP'(x',y')、負のものをQ'(x',-y')としましょう。
辺A'P'、辺B'P'の長さがそれぞれe,fである事から
(x+g/2)^2 + y^2 = e^2
(x-g/2)^2 + y^2 = f^2
上の式から下の式を引いてgで割ると
    x' = (e^2 - f^2)/g    …(3)
また、三角形A'B'P'の面積をSとすると
S = (底辺)×(高さ)÷2 = gy/2
です。一方、ヘロンの公式により h = e+f+g とすると
S = sqrt(h(h-e)(h-f)(h-g))/2
です。これからyが求まります。即ち
    y' = sqrt(h(h-e)(h-f)(h-g))/g    …(4)
です。
これで点P'(x',y'), Q'(x',-y')が求まりました。

さて折り返し地点を過ぎましたので来た道を帰って行きましょう。
まず、原点中心、角度αの回転。ついでに平行移動もしちゃいましょう。求める点をP(p1,p2),Q(q1,q2)とすると
    p1 = x'cosα - y'sinα + (a+c)/2
    p2 = x'sinα + y'cosα + (b+d)/2
    q1 = x'cosα + y'sinα + (a+c)/2
    q2 = x'sinα - y'cosα + (b+d)/2    …(5)

文章にすると長いように見えますが、番号をつけたところを計算するだけですから割と楽だと思うのですが。
2次方程式解かなくて良いし。他の方法と比べてみてください。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
大変参考になりました。
よくわかりました。

お礼日時:2001/08/10 21:07

直接その問題を読んでいないので、想像で回答したいと思います。



点A、Bの座標が解っていると言うことは、A-B間の点間距離が解ると思います。ピタゴラスの定理
新点(Cと仮定)までの距離、A-C 「e」及び B-C「f」の
三辺が解れば、ヘロンの公式で3角形の面積が解ると思います。
三角形を組み合わせることによって多角形の面積が解ります。
確か、辺長と面積は必要ですが座標は記載しなくてもいいと記憶しております。

新点を座標で求めて、座標法などで一回で面積を出した方が早いかとは思いますが、
円の交点は単純な交点計算ではないので、ミスをする可能性がいっきに増します。
あまり勧められる方法ではありません。

早撃ち対応の電卓を、2つ並べて計算した方がいいのではないかと思います。

参考にしてください。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
大変参考になりました。
よくわかりました。

お礼日時:2001/08/10 21:07

どの程度お詳しい方かちょっと分かりませんので、


基礎的な所から順を追って解いてみますね。

求める点を点C=(x,y)としましょう。
AとCの間の距離がeという関係は式にするとこうなります。
(x-a)^2+(y-b)^2=e^2…(1)
BとCの距離がfという関係はこうです。
(x-c)^2+(y-d)^2=f^2…(2)
要は(1)、(2)の両方を満たす(x,y)の組を求めれば良い訳です。
(ちなみにsiegさんのコメントは、この2式が半径e,fの円を表していて、解が2円の交点の座標になるという事です)

さて解いてみましょう。
まず両方の式を展開してから(2)から(1)を引くと、
x(2c-2a)+y(2d-2b)=(e^2-f^2)-(a^2-c^2)-(b^2-d^2)
移項させると
y=x{(a-c)/(d-b)}+(e^2-f^2-a^2+c^2-b^2+d^2)/(2d-2b)…(3)
ですね。
面倒なのでここではG=(a-c)/(d-b)、H=(e^2-f^2-a^2+c^2-b^2+d^2)/(2d-2b)と置き換えちゃいましょう。y=Gx+Hです。
これを(1)に代入すると、
(x-a)^2+(Gx+H-b)^2=e^2
つまり、
(1+G^2)x^2+{-2a+2G(H-b)}x+{a^2+(H-b)^2-e^2}=0…(4)
となります。
(4)はxの2次方程式なので公式に入れれば解けるはずです(解がある場合は)。
求めたxを(3)に代入すればyも出ます。

公式と言えるかどうか分かりませんが、おそらくこれが一番ラクな求解法でしょうし、プログラム関数電卓なら一発で答えが出るようにもできると思います。
あ、ただしご自分で式の確認はお願いしますね。数式が合ってるかどうかは保証外ですのであしからず(笑)。

さらに念のために付け加えると、
x^2は計算機の世界でxの二乗を表す書き方です。
なお2次方程式の解の公式は中学2年か3年、
2点間の距離を求める式(または円の公式)は確か高校1,2年の参考書に載っていたと思いますので参考にして下さい(たぶん、です。昔のことなので…)。

では、ご健闘をお祈りします。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
大変参考になりました。
よくわかりました。

お礼日時:2001/08/10 21:07

A点、B点からそれぞれ半径e,fの円を書いてその交点を求めればいいわけですから文字式にしてとけば二点の座標をa, b, c, d, e, fで表すことが出来るはずです。

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この回答へのお礼

ありがとうございます。
でも、よくわかんないんですが。
もう少し、具体的にお願いできるとありがたいです。

お礼日時:2001/07/14 15:35

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Aベストアンサー

落ち着いて考えれば分かるはず。
ただ、若干の慣れは必要かも・・・。

・考え方
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Bの元は、Φと{a,b}と{a,c}の3個。
共通するのは、Φだけ。

よって、A∩Bの元はΦだけ。
つまり、A∩B={Φ}。

Qにゃんこ先生の自作問題、Σ[a≠b,b≠c,c≠a, a,b,c∈{1,2,3,…,n}]abc

にゃんこ先生といいます。

a,b,c∈{1,2,3,…,n}
とします。

Σ[a≠b]ab
={Σ[k=1~n]k}^2 - Σ[k=1~n]k^2
={n(n+1)/2}^2 - n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1)(3n^2-n-2)/12

Σ[a<b]ab
=(1/2)Σ[a≠b]ab
=n(n+1)(3n^2-n-2)/24

Σ[a≦b]ab
=Σ[a<b]ab + Σ[a=b]ab
=n(n+1)(3n^2-n-2)/24 + n(n+1)(2n+1)/6
=n(n+1)(3n^2+7n+2)/24

ですが、
Σ[a≠b,b≠c,c≠a]abc

Σ[a<b<c]abc

Σ[a≦b≦c]abc
また、それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか?
にゃにかうまい考えがある気がするのですが、思いつきません。

Aベストアンサー

>それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか?

m変数に拡張したものは、次のようになりました。

f(n,m)=Σ[a[1]≦a[2]≦…≦a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m]) とすると、
f(n,m)=S(n+m,n).
(S(n,k)は第二種スターリング数)
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html

計算例:
f(n,10)
=(99*n^9+1485*n^8+6930*n^7+8778*n^6-8085*n^5-8195*n^4+11792*n^3
-2068*n^2-2288*n+768)*(n+10)!/(367873228800*(n-1)!)


g(n,m)=Σ[a[1]<a[2]<…<a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m]) とすると、
g(n,m)
=(-1)^m*s(n+1,n-m+1)
=(-1)^m*Σ[j=0,m]Σ[i=0,j](-1)^i/(j!)*i^(j+m)*comb(j,i)*comb(j+n,j+m)*comb(n+1+m,m-j).
(s(n,k)は第一種スターリング数)
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3563977.html
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html

計算例:
g(n,10)
=(99*n^9-594*n^8-1386*n^7+6468*n^6+14091*n^5-12826*n^4-44132*n^3
-18392*n^2+14432*n+7680)*(n+1)!/(367873228800*(n-10)!).


h(n,m)=Σ[1≦i<j≦m をみたす全てのi,jに対してa[i]≠a[j]](a[1]*a[2]*…*a[m])
とすると、
h(n,m)=(m!)*g(n,m).

>それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか?

m変数に拡張したものは、次のようになりました。

f(n,m)=Σ[a[1]≦a[2]≦…≦a[m]](a[1]*a[2]*…*a[m]) とすると、
f(n,m)=S(n+m,n).
(S(n,k)は第二種スターリング数)
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html

計算例:
f(n,10)
=(99*n^9+1485*n^8+6930*n^7+8778*n^6-8085*n^5-8195*n^4+11792*n^3
-2068*n^2-2288*n+768)*(n+10)!/(367873228800*(n-1)!)


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Q区間(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]において

b-aのことを英語で正式になんというのでしょうか?

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高校の数学についてのかなり阿呆な疑問なのですがなぜ数学I,II,III,IV,V,VIとか数学A,B,C,D,E,Fとかに統一しないで数学I数学A数学II学B数学III数学Cという風に区別されているのですか。
ところで自分はそんなに頭が良くないので優秀な回答を頂いても全く理解できない事も予想されます。
そういう場合は笑って許してください(汗)。

Aベストアンサー

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
文部(科学)省は,「高校で数学を学ぶうえで中心(コア)となるもの」を易しいほうからI→II→IIIと配置し,それ以外をいわばオプションとしてA~Cとしたように思われます。

さらに,I~IIIとA~Cには非常に大きな違いがあります。

たとえば数学Iの内容は,もし学ぶのであればその内容(二次関数・三角比・場合の数・確率)を全部学ばないと,単位がとれません。数学II,数学IIIも同様です。
これに対して,数学Aは,数と式・平面幾何・数列・コンピュータの四単元からなっていますが,指導要領では「履修する生徒の実態に応じて、内容の(1)から(4)までの中から適宜選択させるものとする。」となっており,学校によって扱いはまちまちです。
コンピュータ(BASICのプログラミング)を省いている学校も結構ありますし,また参考書でも飛ばされていたりします。
(ところが入試だとプログラミングがある意味では一番易しいので,それを狙っていこう!という参考書もあったりします)
BやCも同様で,学校により扱いが異なります。

以上より,次のようなことが言えます。
たとえば,ある生徒が「学校で数学IIを習った」といっていれば,数学Iと数学IIの内容は全て授業でやっているはずです。
ところが,「数学Aを習った」というだけでは,実際に何を習っているかは分かりません。
このため,大学入試でも,数学A・B・Cはたいてい,それぞれの単元に対応する問題を並べておいてそのなかから選んで答えさせるようになっています。

No.2のカリキュラムは,1981年度に高校に入学した人までが学んだものです。
当時は,いわゆる受験校(進学校)の場合,おおまかにみて,
入試で数学を使わない人:「数学I→数学IIA」
数学を使う文系の人:「数学I→数学IIB」
理系の人:「数学I→数学IIB→数学III」
というパターンでカリキュラムを組んでいる学校が多かったように思います。
翌年登場したのが,「数学I」「基礎解析」「代数幾何」「確率統計」「微分積分」という科目分けで学んでいます。
その次(92年度入学者以降)に登場したのが現行のI~III,A~Cです。

>まーたぶん大した意味はないと思いますよ
ところが大ありなんですね。
既出の回答とも少し重なりますが,補足を兼ねてお答えしましょう。

現在の指導要領には次のような規定があります(来年の高校1年生から少し変わります)。
(1)「数学II」、「数学III」を履修させる場合は、「数学I」、「数学II」、「数学III」の順に履修させること。
(2)「数学A」については「数学I」と並行あるいは「数学I」に続いて履修させ、「数学B」及び「数学C」については「数学I」を履修した後に履修させること。
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Qa^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

こんにちは。

[問]
a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ。
[解]
a+b=24log[a]b
a+b=6log[b]a=6/log[a]b
なので
(log[a]b)^2=1/4
log[a]b=±1/2
a^(±1/2)=b
からどうしてもa,bが定まりませんどうすれば定まりますでしょうか?

Aベストアンサー

>a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

ええ、もちろん log[a]b を単独でみるときはそうです。でも、この式
   a+b=24log[a]b をみると、a も b も正の数ですから、左辺は
正の数ですよね。ということは、右辺の log[a]b は正の数でなければな
りませんよね?そういう意味で log[a]b>0 といったのです。
したがって、もし b=a^(-1/2)を log[a]b に入れると log[a]a^(-1/2)=-1/2
となり、a+b=-12 で「a,bは正の数」と言うことに矛盾してしまいます。

納得できたでしょうか。説明が足りなくてすみませんでした。


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