(1+√5)/2の取り扱いについて 教えて下さい。 画像の問題をやってて、 交点のx座標がx=-1,

(1+√5)/2の取り扱いについて
教えて下さい。

画像の問題をやってて、
交点のx座標がx=-1, x=(1+√5)/2
がでて。
積分計算に入る。
でも、上端の
(1+√5)/2を当てはめての
最後の計算。。。

こんなの、きついし、
むりじゃないか！！

と、思ってると。

αと置いて、しかも。

α＾2-α-1=0だから。。
云々とか。

さらに、α＾3=α＾2+α=2α+1より

とか。

こんなの思い付かない。。。

よくにた感じのもので。
x＾3=1の解の一つのωのこういう感じののは、
みたことあるし。
その手の解説がある手持ちの
問題は、複数あるのですが。

(1+√5)/2のこのての計算方法について、
は、始めてみて。
ごり押しで計算するのも、きつそうだし。このてのやり方とか。
方法論について。
なにか、どこかで、
体系的に、学べるような情報ありますでしょうか。

アドバイスが欲しいです。

質問者からの補足コメント

• いろいろ、ありがとうございます。
  応用使い方は、
  練習が必要そうですが。
  
  あらかじめ元情報の
  知識がないと。
  きつくないでしょうか
  
  ωと、(1+√5)/2だけしか。
  問われないなら
  
  それら元情報の
  知識を知って。
  応用練習をしたらとは、
  思います。
  
  他にも、来て、
  元情報から、気づかないと
  なると
  
  きついです。
  
  極端な言い方すると。
  ラマヌジャンのような
  計算の先の先まで見通す
  センスが自分にはまるでなく。
  
  元情報が既知で。
  応用事例を訓練済みなら、
  なんとか対応可の
  センスの人間で。
  
  元情報からの応用事例の
  詳細について、
  二回にわたって回答いただき
  ありがとうございます。
  
  画像のようなことが、
  疑問があります
  元情報を知ってないと。ですか？
  
  ωと、(1+√5)/2以外を
  元情報からして、所見のものは、
  すごくきつい気がします。

  
    補足日時：2018/05/03 23:25

No.3 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2018/05/03 23:40

高校数学（受験数学）程度ですから、そんなに深い知識や洞察力は不要です。

要するに「√が入ったような面倒な数値」のときにこの問答のやりとりを思い出して工夫するだけのことです。
「=0になる式」なんて知りませんし、覚えてもいません。自力で作ればいいのです。

つまり、別に(1+√5)/2に限った話ではなく、その都度、試験場で自力で「=0になる式」を作るのです。
（「その都度、試験場で自力で「=0になる式」を作る」という部分がポイントです。）

例えば、(3-√7)/5であれば、
x=(3-√7)/5
5x=3-√7
5x-3=-√7
25x²-30x+9=7　←両辺を2乗した
25x²-30x+2=0　←できた
という感じです。

同じことですが、例えば、(5+√3i)/7であれば、
x=(5+√3i)/7
7x=5+√3i
7x-5=√3i
49x²-70x+25=-3　←両辺を2乗した
49x²-70x+28=0
7x²-10x+4=0　←できた
となりますね。

この回答へのお礼

なるほど。
それなら、知ってなくとも。
元情報にたどりつけそうに
思えます。

今回のだと。
x=(1+√5)/2
2x=1+√5
2x-1=√5
両辺二乗で
4x＾2-4x+1=5
4x＾2-4x-4=0
x＾2-x-1=0
とたしかに、元情報知らなくても、たどり着くことが
できそうです。

ありがとうございます

お礼日時：2018/05/04 16:51

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2018/05/04 16:39

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10462063.html
での別解 No4の回答や、行列のケーリーハミルトンの公式の利用でも、
次数を下げる考えで解くのは多いと思います。ここでは、√5とルートが入っているのがポイント！

この回答へのお礼

URLサイトの問題について、
No4見てきました。

みた後、自分なりに、
紙に書いてやってみました。

まさに、
今回のテーマですね！！

x＾2=なになに
の部分を何回も使い回して。

x＾6の部分を計算しきってます。

実は、行列のケーリーハミルトン
より、A＾2=なになに
から、「次数下げ」のやり方は、
何回かやったことありました。

行列だけでなく、
(●+√■)＾n
みたいなときにも、
似たようなやり方、
を使えるというのが
面白いですね。

視野が広がった感じがします。

本当にありがとうございました。

お礼日時：2018/05/06 03:51

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2018/05/04 07:22

この問題はありふれた定積分の問題です(1+√5)/2＝αと置かなくても解けます。

ただ、答えがごやごちゃになっているだけです。答えに未知数がなくて通分しておけばOKです。最も簡単な数字で表せとは書いていません。(1+√5)/2＝αと置くと最も簡単な数字になるように仕組まれたやらせ問題です。実際の試験ではこのような事をしている時間はありませんね。

この回答へのお礼

時間がなくて、おもいつきそうになければ、そのようにしたいと思います。

この問題については、求めた値を、続く(2)、(3)とかで利用する問題ではなかったので。

ありがとうございました。

お礼日時：2018/05/04 23:11

No.2 回答者： springside 回答日時： 2018/05/03 22:46

あと、あまりないですが、割り算に使うというのもアリですね。

例えば、x=(1+√5)/2のときx⁸を求める必要がある場合、x²-x-1=0であることを利用するため、まずx⁸をx²-x-1で割ってみます。

すると、

x⁸=(x²-x-1)(x⁶+x⁵+2x⁴+3x³+5x²+8x+13)+21x+13
（商がx⁶+x⁵+2x⁴+3x³+5x²+8x+13、余りが21x+13）

となりますが、x²-x-1=0ですから最初の項は0になり、21x+13だけが残ります。
すると、x⁸=21x+13=(47+21√5)/2というのがすぐに求まります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

わり算が面倒ですが。

その使い方、わかりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2018/05/05 22:11

No.1 回答者： springside 回答日時： 2018/05/03 22:32

方法論とか体系的とかそういうことではなく、単に、

「こういうふうな、√が入ったような面倒な数値の計算は、できるだけ楽をするために、その数値が満たす何らかの式を使って、次数を下げる」

ということです。大事なのは、『何らかの「式」を使って「次数を下げる」』という部分です。これがまさに受験のノウハウであり、常識です。

数値が(1+√5)/2=αなら、α²-α-1=0だから、α²=α+1となって次数が下がるし、1の3乗根の一つであるωなら、ω²+ω+1=0だから
ω²=-ω-1となって次数が下がります。こういうのを繰り返して使うと、ドンドン次数が下がり、最終的に1次式になります。

今の高校数学では扱わないのかも知れませんが、「行列」でも同じことが言えて、例えばA²+2A+3E=0なら、A²=-2A-3Eとなって次数が下がり、
計算が格段に楽になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

√の入った式で、
計算簡単にするための、
次数下げについて。
使えるように頑張りたいと思います。

ありがとうございました。

行列のほうでは。
ケーリーハミルトンがらみで。
A＾2=なになに。
にしてから。

A＾3とかなら。
AA＾2にかえて。
A＾2の部分を、置き換えて
いくような要領で、
次数下げしてくのは、
みたことあるです。

ありがとうございました。

お礼日時：2018/05/05 22:16