この変形、どういうことかわか理ましたら教えてください

Question

masterkoto · Accepted Answer

cosπ=-1 sinπ=0より
1行目=1/(√3+1)⁶(-1+0)
=1/-(√3+1)⁶
=-1/(√3+1)⁶
=-{1/(√3+1)}⁶・・・①
ここで有理化すると
1/(√3+1)=(√3-1)/(√3+1)(√3-1)
=(√3-1)/(3-1)
=(√3-1)/2
で、これを6乗したものが①であるから
①の続きは
=-{(√3-1)/2}⁶
＝2行目
=-{(√3-1)²}³/2⁶
=-(4-2√3)³/2⁶
=-{4³-3x4²x2√3+3x4x(2√3)²-(2√3)³}/2⁶
=-2³{8-12√3+18-3√3}/2⁶
=3行目
このような計算過程になっています。

sc348253 · Answer

別解  2→3行目は
x=√3 ー1 とおけば √3=x+1  ∴ 3=(x+1)^2=x^2 +2x +1  ∴ x^2=ー2x +2 より
x^3=x^2・x=(ー2x+2)・x=ー2x^2 +2x=ー2(ー2x+2)+2x=6xー4
∴ x^6=( x^3 )^2=(6xー4)^2=36x^2 ー48x +16
=36(ー2x+2)ー48x+16=ー120x+88
=ー120(√3ー1)+88=208ー120√3   以下略

できるだけ文字で計算した方が計算もし易いし間違いもすくないでしょう！

sc348253 · Answer

cosπ+i sin π=ー1+i ・0=ー1

1/(√3 +1)^6=(√3 ー1)^6 /(√3ー1)^6 (√3+1)^6=(√3 ー1)^6 /(3-[)^6=(√3ー1 /2)^6

二項定理かパスカルの三角形より 
(√3ー1)^6=√3^6 +6(√3)^5 (ー1)+15(√3)^4 (ー1)^2 +20(√3)^3 (ー1)^3+15(√3)^2 (ー1)^4+6(√3)(ー1)^5+(ー1)^6
=27ー54√3 +135 ー60√3 +45 ー6√3 +1
=208ー120√3
=( 26ー15√3 )・2^3
よって
(ー26+15√3)/2^3

varietyknowledge · Answer

ひとつひとつ見ていきましょう。
順番が前後しますが、

1/(cosπ + isinπ)
=1/(-1 + i*0)
=-1

になります。

次に1/(√3+1)^6ですが、
これは分母分子に(√3-1)^6をかけると
(√3-1)^6/((√3+1)^6 * (√3-1)^6)
=(√3-1)^6/((√3+1)(√3+1)(√3+1)(√3+1)(√3+1)(√3+1)(√3-1)(√3-1)(√3-1)(√3-1)(√3-1)(√3-1))
=(√3-1)^6/((√3+1)(√3-1)(√3+1)(√3-1)(√3+1)(√3-1)(√3+1)(√3-1)(√3+1)(√3-1)(√3+1)(√3-1))
=(√3-1)^6/((√3+1)(√3-1))^6
=(√3-1)^6/(3-1)^6
=(√3-1)^6/2^6
=((√3-1)/2)^6

よって、

1/((√3+1)^6 (cosπ + isinπ))
=1/(√3-1)/2)^6 * 1/(cosπ + isinπ)
=((√3-1)/2)^6 * (-1)

次に((√3-1)/2)^6をいきなり展開するのは大変なので、少しづつ計算していきましょう。
((√3-1)/2)^6
=(((√3-1)/2)^2)^3
=((3+1-2√3)/4)^3
=((4-2√3)/4)^3
=((2-√3)/2)^3
=(1/2)^3 * (2-√3)^3
=(1/8) * (2-√3)^2 * (2-√3)
=(1/8) * (4+3-4√3) * (2-√3)
=(1/8) * (7-4√3) * (2-√3)
=(1/8) * (14 - 7√3 - 8√3 + 4*3)
=(1/8) * (14 - 15√3 +12)
=(1/8) * (26 - 15√3)
=(26 - 15√3)/8

よって、
((√3-1)/2)^6 * (-1)
=((26 - 15√3)/8) * (-1)
=(-26 + 15√3)/8

この変形、どういうことかわか理ましたら教えてください

cosπ=-1 sinπ=0より

別解 2→3行目は

cosπ+i sin π=ー1+i ・0=ー1

ひとつひとつ見ていきましょう。

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