(4-x^2)^(3/2) の積分はどーやるんですか？ 答えもおしえてください。

(4-x^2)^(3/2)
の積分はどーやるんですか？
答えもおしえてください。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2020/06/02 21:11

あなたは どう考えたのですか。

置換積分は 習いましたか。
ネットで探すことも 勉強の一つです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/02 21:15

x = 2sinθ と置いたらよくない？

4 - x^2 > 0 でないと (4 - x^2)^(3/2) が実数にならないから、
積分が実積分として意味を持つのは -1 ≦ x ≦ 1 の範囲。
よって、θ は -π/2 ≦ θ ≦ π/2 の範囲にとることができる。　←[1]

dx/dθ = 2cosθ を使って、
∫(4 - x^2)^(3/2) dx = ∫(4 - (2sinθ)^2)^(3/2)・(2cosθ)dθ
= ∫(2^3){ (1 - (sinθ)^2)^(1/2) }^3・(2cosθ)dθ
= ∫(2^4)(cosθ)^3 (cosθ)dθ　←[2]
= 16∫(cosθ)^4 dθ.
[2]のところで (1 - (sinθ)^2)^(1/2) = cosθ とできたのは、
[1]より cosθ ≧ 0 であることによる。

計算の続きは、
(cosθ)^4 = { (cosθ)^2 }^2 = { (1 + cos(2θ))/2 }^2
= (1/4){ 1 + 2cos(2θ) + (cos(2θ))^2 }
= (1/4){ 1 + 2cos(2θ) + (1 + cos(4θ))/2 }
= (1/4){ 3/2 + 2cos(2θ) + (1/2)cos(4θ) }
より
∫(4 - x^2)^(3/2) dx = 16∫(1/4){ 3/2 + 2cos(2θ) + (1/2)cos(4θ) } dθ
= ∫{ 6 + 8cos(2θ) + 2cos(4θ) } dθ
= 6θ + 4sin(2θ) + (1/2)sin(4θ) + C　{Cは定数}
= 6θ + 8sinθcosθ + sin(2θ)cos(2θ) + C
= 6θ + 8sinθcosθ + 2sinθcosθ{ 1 - 2(sinθ)^2 } + C
= 6θ + { 10sinθ - 4(sinθ)^3 }cosθ + C
= 6 arcsin(x/2) + { 10(x/2) - 4(x/2)^3 }√(1 - (x/2)^2) + C
= 6 arcsin(x/2) + (1/4)x(10 - x^3)√(4 - x^2) + C.

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/06/02 21:58

置換積分を使うけど、正直かなり面倒。

x=2sinθとすると、
-2≦x≦2より、θの範囲は-π/2≦θ≦π/2となる。

dx/dθ=2cosθ
dx=(2cosθ)dθ

∫(4-x^2)^(3/2) dx
=∫(4-4(sinθ)^2)^(3/2) (2cosθ)dθ
=8∫(1-(sinθ)^2)^(3/2) (cosθ)dθ
=8∫((cosθ)^2)^(3/2) (cosθ)dθ

-π/2≦θ≦π/2の範囲では0≦cosθ≦1となるため、2乗と1/2乗を掛け合わせることができる。

=8∫((cosθ)^3)(cosθ)dθ
=8∫(cosθ)^4 dθ

cosの半角の公式 (cosX)^2=(1+cos2X)/2 より、

=8∫((1+cos2θ)/2)^2 dθ
=2∫(1+cos2θ)^2 dθ
=2∫(1 + 2cos2θ + (cos2θ)^2) dθ
=∫(2 + 4cos2θ + 2(cos2θ)^2) dθ
=2θ + 2sin2θ + 2∫(cos2θ)^2 dθ
=2θ + 2sin2θ + 2∫((1+cos4θ)/2) dθ
=2θ + 2sin2θ + ∫(1+cos4θ) dθ
=2θ + 2sin2θ + θ + (1/4)sin4θ + C
=3θ + 2sin2θ + (1/4)sin4θ + C
=3θ + 4sinθcosθ + (1/2)sin2θcos2θ + C
=3θ + 4sinθcosθ + sinθcosθ(1-2(sinθ)^2) + C
=3θ + 5sinθcosθ - 2cosθ(sinθ)^3 + C
=3θ + cosθ(5sinθ - 2(sinθ)^3) + C

x=2sinθより、
sinθ=x/2
θ=arcsin(x/2)※arcsinはsinの逆関数

また、sinθ=x/2を2乗すると、
(sinθ)^2=x^2/4
1-(cosθ)^2=x^2/4
(cosθ)^2=(4-x^2)/4

0≦cosθ≦1より
cosθ=(1/2)√(4-x^2)

よって、
∫(4-x^2)^(3/2) dx = 3arcsin(x/2) + ((5/4)x - (1/8)x^3))√(4-x^2) + C
（C：積分定数）