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(cosx)^8の積分がまったく解けません・・・。どうかご教授お願いします。

A 回答 (2件)

【計算のための準備】


cosの加法定理から
   cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)
   cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)
この両辺を足し合わせれば
   cos(a+b) + cos(a-b) = 2*cos(a)*cos(b)
   → cos(a)*cos(b) = { cos(a+b) + cos(a-b) }/2 --- (1) ・・・ cosの積を和に変換する公式
特にa = b = x とすれば
   cos^2(x) = { cos(2*x) + 1 }/2 --- (2)  ・・・ cosの2乗をcosに変換する公式

【cos^8(x) を cosの式に変換する】
公式(2)から
   cos^4(x) = {cos^2(x)}^2 = { cos(2*x) + 1 }^2/4 = { cos^2(2*x) + 2*cos(2*x) + 1 }/4 --- (3)
cos^2(2*x) というのは公式(2)の x を 2*x に置き換えたものなので
   cos^2(2*x) = { cos(4*x) + 1 }/2
したがって式(3)は
   cos^4(x) = [ { cos(4*x) + 1 }/2 + 2*cos(2*x) + 1 ]/4 = { cos(4*x) + 4*cos(2*x) + 3 }/8
となります。問題の被積分関数はこの cos^4(x) をさらに2乗したものなので
   cos^8(x) = { cos^4(x) }^2 = { cos(4*x) + 4*cos(2*x) + 3 }^2/64
         = { cos^2(4*x) + 16*cos^2(2*x) + 9 + 8*cos(4*x)*cos(2*x) + 24*cos(2*x) + 6*cos(4*x) }/64 --- (4)
と展開できます。

式(4)の第一項 cos^2(4*x) は公式(2)から cos^2(4*x) = { cos(8*x) + 1 }/2
第二項 cos^2(2*x) も公式(2)を使えばcos^2(2*x) = { cos(4*x) + 1 }/2
第三項 cos(4*x)*cos(2*x) は公式(1)を使えば cos(4*x)*cos(2*x) = { cos(6*x) + cos(2*x) }/2
なので
   cos^8(x) = { cos(8*x) + 8*cos(6*x) + 28*cos(4*x) + 56*cos(2*x) + 35 }/128
この積分は簡単でしょう。
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根気よく


(cosA)=(1/2)(1+cos2A)
の公式を繰り返し使って
cos2x,cos4x,cos8xだけの式に展開して下さい。

一項のみ
(cos2x)^3
の項が出ますので
∫{(1/2)sin(2x)}'*[1-{sin(2x)}^2]dx
=(1/2)sin(2x)-(1/6){sin(2x)}^3 +C
として積分して下さい。
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