ゼータ関数がs=0のとき
ζ(0)=1+1+1+1+…
ですが、
なぜ、ζ(0)=-1/2となるのかがわかりません。

そんなことが許されて良いものでしょうか?
また、許されるとするならば、どのような条件下で
許されるものなのでしょうか?

A 回答 (5件)

>1+1+1+1+…=-1/2 と書くと間違いなんですね


間違いというか、この表記にも何らかの意味が含まれていると私は思うんですが..

>役立つ例なんかがあるとおもしろいと面白いと思いますが、どうでしょう?
ζ(0)ではありませんが、
ζ(-3)=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+.......=1/120
はカシミール効果の計算で使われています。
カシミール効果とは、真空中に微小な距離aを隔てておいた帯電していない二枚の金属板
のあいだに、真空の零点エネルギーの影響で引力が働くというものです。
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siegmund です.



> 解析接続で無理やり出した等式で特殊な解
という表現はちょっと賛成しかねます.

(1)  f(z) = 1/(1-z)
の Taylor 展開が
(2)  f(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + ...
です.
z=2 を(1)に代入すれば f(2) = -1 ですが,
これを(2)で z=2 としたものから無理やり出した特殊な解とは言わないでしょう.

(1)と同様に,全複素平面で使える単一の定義式がζ関数にもあって,
それが Re(z) > 1 の場合に
(3)  ζ(z) = Σ(n=1 → ∞) 1/n^z   (Re(z)>1)
と変形してよいとなっているのです.
ζ関数の全複素平面で使える単一の定義式が(1)のように簡単なものでは
ないだけのことです.
ζ関数の全複素平面で使える単一の定義式を持ち出す代わりに
「(3)を解析接続して得られる関数がζ(z)」と言っても同じことです.
(1)の f(z) の定義の代わりに,(2)を解析接続して得られる関数,
と言ってもよいわけです.

ζ(0) = -1/2 が何かの役に立つかと?
さて,困りましたね~.
ζ(2) = π^2/6 とか ζ(4) = π^4/90 も何の役に立つかと言われると...
ζ(z) は数論と関係が密接ですから,そちらの関係で何かあるかも知れませんが,
私の知識では手に余ります.

なお,No.1 で書きましたリーマン予想
> z=-2, -4, -6, ... が零点で,
> その他の零点はすべて直線 Re(z) = 1/2 上にあります.
は,「任意の平方数の間に必ず素数がある」と同じことであることが
知られています.
3^2 と 4^2 の間に,ちゃんと素数(11,13)があるというわけです.
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siegmund です.



No.1 で書きましたように,ζ関数の定義は
(1)  ζ(z) = Σ(n=1 → ∞) 1/n^z   (Re(z)>1)
を解析接続して得られる関数ということです.
したがって,(1)に z=0 を代入しても意味はありません.

例えば,
(2)  f(z) = 1/(1-z)
をzでテーラー展開しまして
(3)  f(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + ...
となりますが,もちろん |z| < 1 でしか使えません.
(3)に z=2 など代入しても意味がないわけです.
今のζ(0)の話も似たようものと思ったらいかがでしょう.
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この回答へのお礼

何度も投稿してくださってありがとうございます。

なるほど、こういう例がありましたか
この例を逆に考えると、値が発散してしまうような関数でも
なにか技をかけてやれば有限の値を吐き出させることが
可能な場合も考えられますね。(ちょっと強引ですが…)
この場合、技というのが解析接続であって、ζ(0)=-1/2は
解析接続で無理やり出した等式で特殊な解というわけですね
(ζ(0)=1+1+1+1+…=-1/2 と書くと間違いなんですね)
あとは、この無理やり出した解が役立つ例なんかがあると
おもしろいと面白いと思いますが、どうでしょう?
(無理難題で申し訳ないです。)

お礼日時:2001/07/18 23:05

私もこの式はきちんと理解しているわけではなく、なんとなーく腑に落ちないのですが、


コメントさせていただきます。

ζ(0)=-1/2
は、あくまで複素関数としての値だと思っています。
ゼータ関数の定義から
1+1+1+1+…=-1/2
と書いてしまうと変な感じがしますが、イメージとしては、ゼータ関数をz=1を除く
複素平面で自然に拡張してやると、無限大が「繰り込まれて」有限値が残るのだと
理解すればよいのではないでしょうか。
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もちろん,許されませんよね.


リーマンのゼータ関数の表式の一つが
(1)  ζ(z) = Σ(n=1 → ∞) 1/n^z
ですが,(1)が有効なのは
(2)  Re(z) > 1
の場合だけです.
Re(z) はzの実数部の意味.
これは,(1)の和が収束する条件に他なりません.

(2)の条件が満たされないときは解析接続することになります.
(2)の条件のもとでの(1)を解析接続して得られる関数が
リーマンのζ関数である,ということです.

なお,ζ関数が無限大の値になるのは z=1 のときのみで,
ここは1位の極,留数は+1です.
その他のzでは正則,
z=-2, -4, -6, ... が零点で,
その他の零点はすべて直線 Re(z) = 1/2 上にあります.
零点の Re(z) = 1/2 は未解決の問題(リーマンの第5予想)で,
解決には100万ドルの懸賞金がかかっています.
http://www.claymath.org/prizeproblems/riemann.htm
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Q素数、特に、リーマン予想のゼータ関数、非可換幾何学などが含まれているも

素数、特に、リーマン予想のゼータ関数、非可換幾何学などが含まれているもので、
物理には全く縁遠いど素人にも『楽しくわかりやすい読み物』として、おすすめの書物がございましたらご紹介いただけないでしょうか。
入門書とまでもいかない、本当の読み物として書いてあるものが望みです。
  

Aベストアンサー

素数、特に、リーマン予想のゼータ関数、非可換幾何学などが含まれているも

○ 数学カテの方が良いと思われますが、数学も哲学の内ですから回答しないといけないですね。
わかりやすいものであれば、
1.「なっとくするオイラーとフェルマー」小林昭七 講談社
オイラー積、など参考になるかもしれません。

2.「リーマンゼータ関数と保型波動」本林洋一 共立講座
ちよっと専門的ですが、序(前書き)に「ここに述べられたことは、B. Riemannが「素数をかぞえあげること」を自らに課したとき以来面々と書きとめられてきた物語の一端である。・・」
とありますし、読者への前書きに「本書は「通読」を旨として書かれたことを念頭に置かれたい。・・」
という前書きがありますので、参考になるかもしれません。

3.数論的なものであれば、「数論入門 I]GHハーデイス/EMライト(著)、示野信一・矢神毅(訳)
なども参考になるかもしれません。
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Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
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-----------------------
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-------------------------

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なおζ(s)がゼータ関数でありζ(s)=Σn^(-s)です。

====================================================
φ(s)=1-1/2^s+1/3^s-1/4^s+・・・=(1-2^(1-s))ζ(s)
より
φ(0)=-ζ(0),φ(-1)=-3ζ(-1),φ(-2)=-7ζ(-2),φ(-3)=-15ζ(-3)
また、
f(x)=1+x+x^2+x^3+・・・=1/(1-x)
g(x)=xdf(x)/dx=x+2x^2+3x^3+4x^4+・・・=x/(1-x)^2
h(x)=xdg(x)/dx=x+2^2x^2+3^2x^3+4^2x^4+・・・=x(1+x)/(1-x)^2
より
f(-1)=φ(0)=1/2,g(-1)=-φ(-1)=-1/4,h(-1)=-φ(-2)=0
これから
ζ(0)=-1/2,ζ(-1)=-1/12,ζ(-2)=0,・・・
となる
====================================================

[質問1]φ(s)=1-1/2^s+1/3^s-1/4^s+・・・=(1-2^(1-s))ζ(s)の等号成立を導出しようとしましたが、どうもうまくいきません。なにか、糸口になりそうなものをご存じでないでしょうか?

[質問2]この方法以外で、何か理解の助けになるようなものをご存じでないでしょうか?
(一般のsに対する証明である必要はなく、たとえばs=-1の場合しか通用しない手法でもかまいません。)

[質問3]上記2番目のHPで「無限大になるところをうまく引き去って有限の値をだすことを物理学の用語で“繰り込み”といいますが」とあるように、素粒子論の世界でよく“繰り込み”を耳にしますが、何か深淵な意味や応用があるのでしょうか?

[質問4]アレフの様なものとなに関連があるのでしょうか?

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大学の数学の教科書などにはそのような記述は(少なくとも)見覚えはありませんでしたので、検索したところ、http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/346_zeta.htmというサイトに行き着...続きを読む

Aベストアンサー

>[質問1]φ(s)=1-1/2^s+1/3^s-1/4^s+・・・=(1-2^(1-s))ζ(s)の等号成立を導出しようとしましたが、どうもうまくいきません。
むりやり計算するだけです。

1 - 1/2^s + 1/3^s - 1/4^s + 1/5^s - 1/6^s + ...

= 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + 1/5^s + 1/6^s + ...
- 2(1/2^s + 1/4^s + 1/6^s + ...)

= ζ(s) - 2(1/2^s)(1 + 1/2^s + 1/3^s + ...)

な感じで


>[質問2]この方法以外で、何か理解の助けになるようなものをご存じでないでしょうか?
ζ関数は詳しく研究されているので、参考文献も豊富です。
勉強したい場合はウェブサイトではなく、大きめの本屋さんに行きましょう。

>[質問3]上記2番目のHPで「無限大になるところをうまく引き去って有限の値をだすことを物理学の用語で“繰り込み”といいますが」
>とあるように、素粒子論の世界でよく“繰り込み”を耳にしますが、何か深淵な意味や応用があるのでしょうか?
たぶん関係ありません。

>[質問4]アレフの様なものとなに関連があるのでしょうか?
集合論の濃度のことですか?これも関係ないでしょう。

>[質問1]φ(s)=1-1/2^s+1/3^s-1/4^s+・・・=(1-2^(1-s))ζ(s)の等号成立を導出しようとしましたが、どうもうまくいきません。
むりやり計算するだけです。

1 - 1/2^s + 1/3^s - 1/4^s + 1/5^s - 1/6^s + ...

= 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + 1/5^s + 1/6^s + ...
- 2(1/2^s + 1/4^s + 1/6^s + ...)

= ζ(s) - 2(1/2^s)(1 + 1/2^s + 1/3^s + ...)

な感じで


>[質問2]この方法以外で、何か理解の助けになるようなものをご存じでないでしょうか?
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Qlim_[x→∞](1+1/x)^x=e ですが、lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1)は?

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lim_[x→∞](1+1/(x+1))^(x+1) どうなりますか?
たぶん e だとは思うのですが。解き方も教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>y^(n+1)/y^n や (n+1)y/ny なんかだと+1が生きてきますよね。
そのとおり、+1を無視するわけにいきません。また、先の回答が+1を無視しているわけでもありません。
この問題を少し変えて、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)
とすれば、
lim_[x→∞](1+1/x)^(x+1)=lim_[x→∞](1+1/x)^x *(1+1/x)=e
(∵ x→∞ のとき(1+1/x)^x→e ,(1+1/x)→1)

lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x
とすれば、y=x+1 とおいて
lim_[x→∞](1+1/(x+1))^x=lim_[y→∞](1+1/y)^(y-1)=lim_[y→∞](1+1/y)^y /(1+1/y)=e
(∵ y→∞ のとき(1+1/y)^y→e ,(1+1/y)→1)

結果は同じeですが、途中で+1を無視せずに解答する必要があるでしょう。

Qゼータ関数と関連? Σ[p∈素数]1/p^2

Σ[n∈N]1/n=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+…=∞

Σ[n∈N]1/n^2=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/6^2+…=π^2/6

Σ[p∈素数]1/p=1/2+1/3+1/5+1/7+…=∞

ですが、

Σ[p∈素数]1/p^2=1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+…=???

の値はどうなるのですか?

Aベストアンサー

いろいろ式をいじっていると
 Σ[p∈素数]1/p^2
= ln(ζ(2)) - (1/2)*ln(ζ(4)) - (1/3)*ln(ζ(6)) + 0*ln(ζ(8))
- (1/5)*ln(ζ(10)) + (1/6)*ln(ζ(12)) - (1/7)*ln(ζ(14)) + 0*ln(ζ(16))
+ 0*ln(ζ(18)) + (1/10)*ln(ζ(20)) + …
のような式が得られましたが,
係数の規則性がよくわかっていません.

どうやら n 項目の係数は 0, ±(1/n) のいずれかにはなっているようですが,
これでは元の式を汚くしただけですね.

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Qゼータ関数における諸計算で

Σ(n=1から∞){n(1/n^s-1/(n+1)^s)}=s∫(u=1から∞)[u]/u^(s+1)duと言う等式に至る過程がわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

f(x)=1/x^sとおくと
Σ(n=1~∞){n(1/n^s-1/(n+1)^s)}
=Σ(n=1~∞){s・n∫(n~n+1)1/x^(s+1)dx}  (・はかけ算の意味)
ここでn<=x<n+1でn=[x]と表せるから (<=は小なりイコールの意味)
右辺=Σ(n=1~∞){s∫(n~n+1)[x]/x^(s+1)dx}
=s∫(1~∞)[x]/x^(s+1)dx

よって示された

スミマセン! 
ANo1は取り消します。余計な事を言ってスミマセンでした。

Q(a+1)(a+2)の計算方法は、 (a+1)(a+2)=a+a+1+2 =2a+3 であっています

(a+1)(a+2)の計算方法は、

(a+1)(a+2)=a+a+1+2
     =2a+3

であっていますか?

Aベストアンサー

式が(a+1)+(a+2)なら、
=a+a+1+2=2a+3で合ってるが、

(a+1)(a+2)なら、(a+1)×(a+2)です。従って
=a*a+1a+2a+1*2
=a二乗+3a+2となります。


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