「教えて!ピックアップ」リリース!

(1) 91x+221y=(91,221)
(2) 143x+117y=(143,117)
(3) 5796x+7935y=(5796,7935)
(4) 141x+409y=1

ユークリッドの互除法は理解しているのですが、方程式の解き方が解りません。
計算が解りやすく理解できるようにご説明戴けると助かります。
何卒、宜しくお願い申し上げます。

質問者からの補足コメント

  • 例題(写真)の3379x+713y=(3379,713)の方ですが、ユークリッドの互除法は理解しています。しかし右側のページにある186=713-1・527
    =713-1・(3379-4・713)
    =5・713-1・3379の
    5という数字がどこからやってきたのかがさっぱり解りません。
    今、私は大学の通信教育で学んでいるのですが、中高と音楽学校だったので、
    数学の基礎がありません。どうか解りやすく手順もご教授ください。お願いします。

    「ユークリッドの互除法を用いて方程式を解く」の補足画像1
      補足日時:2018/05/21 11:20
  • (1)91x+221y=13
    (2)143x+117y=13
    (3)5796x+7935y=69

    という問題でした。右側のかっこの中は最大公約数を求めるべきだったので、
    私の説明が不足しておりました。本当に申し訳ありません。
    改めて宜しくお願い申し上げます。

      補足日時:2018/05/21 12:14
  • うーん・・・

    回答してくださった方へ

    1=127-14*9
    =127-(141-127)*9までは理解できるのですが、
    次の10はどこから来ているのでしょうか?

    またこの問題においては最大公約数が1ということなのでしょうか?
    理解不足で申し訳ないのですが、宜しくお願い致します。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2018/05/21 13:12
  • 3379x+713y=31をユークリッドを用いて解くのですが、
    3379=4*713=527
    (3379,713)=(713,527)
    713=1*527+186
    (713,527)=(527,186)
    527=2*186=155
    (527,186)=(186,155)
    186=1*155+31
    (186,155)=(155,31)
    155=5*31
    (155,31)=31
    527=3379-4*713
    186=713-1*527
    =713-1*(3379-4*713)
    =5*713-1*3379 (ここが解りません!)
    155=527-2*186
    =(3379-4*713)-2*(5*713-1*3379)
    =3*3379-14*713
    31=186-1*155
    =(5*713-1*3379)-1*(3*3379-14*713)
    =19*713-4*3379
    よってx=-4 y=19

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2018/05/21 16:43

A 回答 (2件)

補足でのご質問について


>次の10はどこから来ているのでしょうか?

1=127-14*9
=127-(141-127)*9
=127*1-141*9+127*9
=127(1+9)-141*9
=127*10-141*9

残したい数字を文字のように考えて整理すると見やすいでしょうか
127をA、141をBで示すと
1=A-14*9
=A-(B-A)*9
=A*(1+9)-B*9
=A*10-B*9

>またこの問題においては最大公約数が1ということなのでしょうか?
この問題には最大公約数がでてきていないので、「この問題における最大公約数」と表現されることには違和感を覚えるのですが
141と409の最大公約数であれば1です

ちなみに、141と409の最大公約数が1だから
141x+409y=1 となる整数x,yが存在します

逆に、最大公約数が2となる、例えば6,8では
6x+8y=1 となる整数x,yはありません

意味が分かったので(1)だけ
91と221の最大公約数
=91と(221-91*2)の最大公約数
=91と39の最大公約数
=(91-39*2)と39の最大公約数
=13と39の最大公約数
=13


91x+221y=13となるx,yを求める
13=91-39*2 に 39=221-91*2 を使って
13=91-(221-91*2)*2
=91*1-(221*2-91*4)
=91*1+91*4-221*2
=91*5-221*2

x=5 かつ y=-2 が解の一つ
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

ありがとうございます。もっとじっくり考えてみたいと思います。
ユークリッドの除去法までは理解出来ているのですが、
そこから式を逆にというか考えて方程式を成立させるところが、
ずっとつまづいています。上の例題の場合も5は(4+1)で、
−2はどこから来るのだろうと考えてしまってます。
また教科書の方も(補足コメントですが)理解が及びません。
ちょっと離れながら考え直してみたいと思います。
本当に不勉強で申し訳ありません。

お礼日時:2018/05/21 16:51

(1)~(3)は、私が意味を理解できないので、(4)だけ



409=141*2+127 :これを変形した 127=409-141*2 を後で使う①
141=127*1+14   :14=141-127 ②
127=14*9+1 :1=127-14*9 ③

③の14を②で置き換えて整理すると、
1を127と141で作れる

1=127-14*9
=127-(141-127)*9
=127*10-141*9

この127を①で置き換えて整理すると、
1を409と141で作れる

1=127*10-141*9
=(409-141*2)*10-141*9
=409*10-141*29

したがって、一つの解として
x=-29,y=10 が得られた

x=-29+409*n
y=10-141*n
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

助かりました

こんなに早くに回答を頂き、心から感謝申し上げます。
とても解りやすくて何度動画など見ても分からなかったのですが、
本当に助かりました。ありがとうございます。

お礼日時:2018/05/21 12:00

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