x+1/x=3のとき、x^2+1/x^2の値を求める問題について

x+1/x=3のとき、x^2+1/x^2の値を求めなさい。という問題があるのですが解き方と問題の意味がよくわかりません。
問題の意味と詳しい解き方を教えていただけませんか？
問題集には下のようにかいてあります。
x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2
=3^2-2
=7
この解き方の流れを見ても理解できません。
宜しくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2010/04/15 08:10

＞この解き方の流れを見ても理解できません。

どの部分がわからなかったのでしょうか。
解答にある方法は「ｔ＝ｘ＋１／ｘと置く」というものです。よくつかわれているものです。ｔ＝３ですがあとで使います。

ｔ^2＝ｘ^2＋２＋１／ｘ^2＝（ｘ^2＋１／ｘ^2）＋２
ｔ^3＝ｘ^3＋３ｘ＋３／ｘ＋１／ｘ^3＝（ｘ^3＋１／ｘ^3）＋３（ｘ＋１／ｘ）
ｔ^4＝（(ｘ^2＋１／ｘ^2）＋２)^2＝（(ｘ^4＋１／ｘ^4）＋２）＋４（ｘ^2＋１／ｘ^2）＋４
　　＝（ｘ^4＋１／ｘ^4）＋４（ｘ^2＋１／ｘ^2）＋６

次数がどんどん大きくなりますがどの次数でも（ｘ^n＋１／ｘ^n）の形の式の組み合わせしか出てきません。
逆にこれを解くと
ｆ１＝ｘ＋１／ｘ＝ｔ
ｆ２＝ｘ^2＋１／ｘ^2＝ｔ^2－２
ｆ３＝ｘ^3＋１／ｘ^3＝ｔ^3－３ｔ
ｆ４＝ｘ^4＋１／ｘ^4＝ｔ^4－４ｔ^2＋２

になりますからｔの値が分かっているとｆ１、ｆ２、ｆ３、ｆ４、の組み合わせになっている式の値が求められるということが分かります。

ｆ＝ａ＋ｂｆ１＋ｃｆ２＋ｄｆ３＋ｇｆ４
に対して教科書では「対称式」という言葉が使われています。
ｘ^n　の前の係数と１／ｘ^n　の前の係数が同じになっている式です。

問題ではｔ＝ｘ＋１／ｘ＝３となっています。
ｔ＝３を代入して計算するのはｘ＝（３±√５）／２　を代入して計算するのに比べると格段に楽です。

こういう流れの中で出てきた問題です。
ｘ^2＋１／ｘ^2　だけを見て変形を思いついたというのであれば「どうしてそういう変形を考えるのか？」と不思議に思うかもしれません。
３次の対称式が出てきた場合であればお手上げになる可能性があります。

「対称式ではｔ＝ｘ＋１／ｘと置いて変形する」という公式があると思っておいた方がいいようです。

この回答へのお礼

丁寧なご説明ありがとうございました。凄く良くわかりました。

お礼日時：2010/04/15 17:18

No.5 回答者： lindberg19 回答日時： 2010/04/15 00:53

(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2

なので
　x^2+y^2
= (x+y)^2 - 2xy
この式を使います。

y=1/xとおくと

　x^2+1/x^2
= x^2+y^2
= (x+y)^2 - 2xy
yを1/xに戻します。
= (x+1/x)^2 - 2x(1/x)
= (x+1/x)^2 - 2
x+1/x=3なので
= 3^2 - 2
= 7

この回答へのお礼

わかりやすいご説明ありがとうございました。やっと理解できました。

お礼日時：2010/04/15 17:19

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/04/15 00:53

え? 「問題の意味がよくわからない」ですか?

もうちょっとかみくだいていうと「x+1/x = 3 を満たす x の値に対して x^2+1/x^2 の値を求めろ」ってこと.
だから, その解答がスマートだけどもちろん地道に「x+1/x = 3 を解いて得られる x の値を x^2+1/x^2 に代入する」という手法でもいい.

この回答へのお礼

問題の意味についてのご説明ありがとうございました。とてもわかりやすかったです。

お礼日時：2010/04/15 17:20

No.3 回答者： NNNN3 回答日時： 2010/04/15 00:51

すいません誤記がありました。

再度書きます。

(x+1/x)^2は
x^2 + 2*x*(1/x) + 1/(x^2)
=x^2 + 2 + 1/x^2
なので、
x^2 + 1/x^2 = (x+1/x)^2 - 2
ここで問題文より
x+1/x = 3なので
x^2+1/x^2 = (x+1/x)^2 - 2
= 3^2 - 2
= 9 - 2
= 7
ということです。

この回答へのお礼

わかりやすいご説明ありがとうございました。納得できました。

お礼日時：2010/04/15 17:21

No.2 回答者： NNNN3 回答日時： 2010/04/15 00:48

(x+1/x)^2は

x^2 + 2*x*(1/x) + 1/(x^2)
=x^2 + 2 + 1/x^2
なので、
x^2 + 1/x^2 = (x+1/x)^2 - 2
ここで問題文より
(x+1/x)^2 = 3なので
x^2+1/x^2 = ((x+1/x)^2)^2 - 2
= 3^2 - 2
= 9 - 2
= 7
ということです。

No.1 回答者： ItachiMasamune 回答日時： 2010/04/15 00:46

情報公式の(a+b)^2=a^2+b^2+2abにa=x,b=1/xを入れれば

(x+1/x)^2=x^2+1/x^2 +2x(1/x)
9=x^2+1/x^2 +2

というか(a+b)^2=a^2+b^2+2abを変形したa^2+b^2=(a+b)^2-2abもよく使う。
問題集はこれを使ってるだけ。

この回答へのお礼

わかりやすいご説明ありがとうございました。変形したa^2+b^2=(a+b)^2-2abという公式も教えていただいて大変助かりました。

お礼日時：2010/04/15 17:24