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数学的帰納法

1²+3²+5²+・・・+(2n-1)²=1/3n(2n-1)(2n+1)

n=k+1のとき
1²+3²+5²+・・・+(2n-1)²
=1/3k(2k-1)(2k+1)+(2k+1)^2

1²+3²+5²+・・・+(2n-1)²
=1/3k(2k-1)(2k+1)

なぜこの変形になりますか?
1/6n(n+1)(2n+1)公式とは違う公式ですか?

質問者からの補足コメント

  • 1²+3²+5²+・・・+(2n-1)²

    1/3k(2k-1)(2k+1)

    なぜ1/3k(2k-1)(2k+1)になったのか分かりません

      補足日時:2023/03/05 13:58

A 回答 (2件)

[0] が成立することを、


(1/6)n(n+1)(2n+1)公式を使って示すこともできますよ。

1²+2²+3²+・・・+(2n)² の偶数番目の項と奇数番目の項を分けて和を作ると、
(奇数番目の和) = (全部の和) ー (偶数番目の和)
1²+3²+5²+・・・+(2n-1)² = { 1²+2²+3²+・・・+(2n)² } ー { 2²+4²+6²+・・・+(2n)² }
 = { 1²+2²+3²+・・・+(2n)² } ー (2²)・{ 1²+2²+3²+・・・+n² }
 = (1/6)(2n)((2n)+1)(2(2n)+1) ー 4・(1/6)n(n+1)(2n+1)
 = (1/3)n(2n-1)(2n+1)
と計算できます。

この計算で数学的帰納法が避けて通れるかというと、そうでもなくて、
ここで使った (1/6)n(n+1)(2n+1)公式 が成り立つことを証明するために
数学的帰納法を使うことになるのです。
帰納法を公式の中に隠して、使ってないようなふりをしているだけです。
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「なぜこの変形になりますか?」という文が


何を質問しているのか判りませんね。
数学的帰納法がどいうものなのか知らない
ってことなのかな?

変数 n を含む命題 P(n) の成立を示したいとき、
① P(1) が成立すること と
② 自然数 k について P(k) が成立すると仮定すれば P(k+1) も成立すること
を示せば、任意の自然数 n について P(n) が成立すると言ってよい
というのが「数学的帰納法」です。
なぜそうなのかは考えてもしかたがなくて、
数学的帰納法自体は自然数の定義の一部です。

ここでは、任意の自然数 n について
1²+3²+5²+・・・+(2n-1)² = (1/3)n(2n-1)(2n+1) ←[0]
が成り立つことを、数学的帰納法で示そうとしているんですよね?
だとすれば、質問の
1²+3²+5²+・・・+(2n-1)² = (1/3)k(2k-1)(2k+1)
という変形は、② の仮定部分からでてきます。

[0] に数学的帰納法を適用すると、② は
自然数 k について
1²+3²+5²+・・・+(2k-1)² = (1/3)k(2k-1)(2k+1) ←[1]
が成立すると仮定すれば
1²+3²+5²+・・・+(2(k+1)-1)² = (1/3)(k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1) ←[2]
も成立する
...となります。これを示そうというわけです。

[2] の左辺は
1²+3²+5²+・・・+(2(k+1)-1)² = 1²+3²+5²+・・・・・・・・・・・・+(2k+1)²
             = 1²+3²+5²+・・・+(2k-1)² + (2k+1)²
と書けますが、この右辺の 1²+3²+5²+・・・+(2k-1)² の部分は、
[1] の成立が仮定してあることから = (1/3)k(2k-1)(2k+1) です。
よって、
1²+3²+5²+・・・+(2(k+1)-1)² = 1²+3²+5²+・・・+(2k-1)² + (2k+1)²
             = (1/3)k(2k-1)(2k+1) + (2k+1)²
とできます。
今回の質問は、この部分の変形についてですよね?

(1/3)k(2k-1)(2k+1) + (2k+1)² を整理すれば
(1/3)k(2k-1)(2k+1) + (2k+1)² = (1/3)(k+1)(2k+1)(2k+3) となって、
(1/3)(k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1) = (1/3)(k+1)(2k+1)(2k+3)
の右辺と一致します。これで [2] の成立が示されました。
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