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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
norimotsuさん、こんにちは。
正解が出ていますが・・・#2さんの補足です。
まず、正則行列とは、
n次正方行列に対して、AX = XA = En となる行列 X が存在するとき、A は正則行列であるという。また X を A の逆行列といい A-1 で表す。
ということです。
さて、今、べき零行列をAとします。
すると、A^n=0(零行列)ということになります。・・・(☆)
また、「べき零行列が正則」であると仮定して、矛盾を導けば
「べき零行列は正則ではない」ということになりますね。
行列Aが正則であるとは、上の定義より、逆行列A^(-1)が存在することです。
では、その逆行列を、n個、(☆)の両辺にかけてみればいいのです。
A^(-1)*A^(-1)・・・A^(-1)A*A*・・*A=A^(-1)*・・*A^(-1)*0=0
↑
ここは、単位行列になっていますね
左辺は、単位行列n個の積です。
右辺は、零行列。
となって、左辺≠右辺で矛盾が生じます。
No.2
- 回答日時:
A^-1が存在するとすれば、そのn乗を両辺にかけて
(A^-1)^n(A^n)=E=O
になって矛盾
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