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3で割ると1余り、7で割ると3余る

3桁の自然数の内、最小のものを求めよ

【①105 ②115 ③119 ④123 】

問題の意味がわかりません。

この時の解き方と公式を教えてほしいです

恐縮ではありますが、お願いします。

A 回答 (6件)

選択肢から逆算できない場合の正当なとき方は次のようにします



重要公式 (割られる数)=(割る数)x(商)+(あまり) を参考に立式します
求める数の候補をNとすると Nは3で割ると1余り、7で割ると3余るのだから
重要公式にあてはめて
N=3xQ+1
N=7xq+3 です ただし Q,qはNをそれぞれ3と7で割った時の商

ゆえに 3Q+1=7q+3です
移行して
3Q-2=7q
(3Q-2)/7=q
qは商で自然数だから
3Q-2が7の倍数でないと (3Q-2)/7は自然数にならない!

よって Q=3、10、17などと分かります
Qは7づつ増えていることに気が付きますから
N=3Q+1がはじめて3桁になるのは Q=3+7+7+7+7+7=38のときで
N=3x38+1=115 とわかります
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実際にやってみたら、



105÷3=35→1+0+5=6という論理もあり。
105÷7=15

115÷3=38余り1
115÷7=16余り3

119÷3=39余り2
119÷7=17

123÷3=41→1+2+3=6という論理もあり。
123÷7=17余り4

ということは115
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意味??


例えば10だよ。10を3で割ると1余り、10を7で割ると3余る。

問題の数に11を足して見な。
3で割ると1余るから11足すと12余る、が12は3で割り切れるから、11を足したら3で割れる。
7で割ると3余るから11足すと14余る、が14は7で割り切れるから、11を足したら7で割れる。

つまり11を足したら、3と7の公倍数。21の倍数だって事。
21の倍数で3桁は、105、126・・・・

11を引くと、94、115・・・
3桁のは115
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ユークリッド互除法の問題だと思います。


3と7は互いに素の自然数です。

文字で置いて
3x+1=7y+3(x.yは自然数)
移項して
3x-7y=2(①)
これを満たすx.yの具体例を1つ自分で探します例えば
3×3-7×1=2(②)

上の①②を用いて
3x-7y=2
3×3-7×1=2
上辺と下辺をひいて
3(x-3)-7(y-1)=0
移項して
3(x-3)=7(y-1)
3と7は互いに素なので
自然数Aを用いると
x-3=7A
y-1=3A
と表せます。
よってx=7A+3、y=3A+1であることが分かります

ここでx.yどちらでもいいのですが
例えばx=7A+3の方に注目するとすれば
3x+1=3(7A+3)+1=21A+10
21A+10で3桁の自然数で最も小さいのは
A=5のとき
つまり115の時です。

分かりにくいかもしれないので
数学1Aの教科書でユークリッド互除法のページを確認してみてください。
互いに素の自然数、というところがポイントです。
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こんな問題に 公式なんて ありません。


答の出し方は、答の候補があるのですから、
実際に計算してみれば良いのです。
① 105÷3=35 余り 0,
② 115÷3=38 余り 1 ,
③ 119÷3=39 余り 2,
④ 123÷3=41 余り 0 。
3で割って 1余るのは ② だけ。
因みに 115÷7=16 余り 3 。

変な問題。「7で割ると3余る」と云う
条件は 要らない。
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これ、問題が頭悪いな・・・


それぞれ1を引いてみ?
3の倍数になるのは1個しかないやん・・・

余りになる数を引いて、割る数で割り切れるか見るだけ
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